Question

（2011?虹口區(qū)二模）如圖（a）所示，間距為l、電阻不計的光滑導軌固定在傾角為θ的斜面上．在區(qū)域I內有方向垂直于斜面的勻強磁場，磁感應強度恒為B不變；在區(qū)域Ⅱ內有垂直于斜面向下的勻強磁場，其磁感應強度B_t的大小隨時間t變化的規(guī)律如圖（b）所示．t=0時刻在軌道上端的金屬細棒ab從如圖位置由靜止開始沿導軌下滑，同時下端的另一金屬細棒cd在位于區(qū)域I內的導軌上也由靜止釋放．在ab棒運動到區(qū)域Ⅱ的下邊界EF之前，cd棒始終靜止不動，兩棒均與導軌接觸良好．
已知cd棒的質量為m、電阻為R，ab棒的質量、阻值均未知，區(qū)域Ⅱ沿斜面的長度為l，在t=t_x時刻（t_x未知）ab棒恰好進入區(qū)域Ⅱ，重力加速度為g．求：
（1）區(qū)域I內磁場的方向；
（2）通過cd棒中的電流大小和方向；
（3）ab棒開始下滑的位置離區(qū)域Ⅱ上邊界的距離；
（4）ab棒開始下滑至EF的過程中，回路中產生總的熱量．（結果用B、l、θ、m、R、g表示）

Answer 1

分析：（1）II內磁場均勻變化因此在回路中形成感應電流，根據楞次定律判斷出流過cd的電流方向，然后根據平衡求出cd棒所受安培力方向，進一步根據左手定則判斷磁場方向．
（2）根據導體棒處于平衡狀態(tài)可知，安培力等于重力沿導軌向下分力，由此可求出通過cd棒中的電流大小和方向．
（3）棒ab進入II區(qū)域前后回路中的電動勢不變，即磁場變化產生電動勢與導體切割磁感線產生電動勢相等，據此求出導體棒進入II時速度大小，然后根據導體棒勻加速下滑的特點即可求出結果．
（4）回路中電流恒定，根據Q=EIt可求出結果．

解答：解：（1）由楞次定律可知，流過cd的電流方向為從d到c，cd所受安培力沿導軌向上，故由左手定則可知，I內磁場垂直于斜面向上．
故區(qū)域I內磁場的方向垂直于斜面向上．
（2）cd棒平衡，所以有：BIl=mgsinθ
故解得：I=

mgsinθ

Bl

，電流方向d→c．
故通過cd棒中的電流大小I=

mgsinθ

Bl

，電流方向d→c．
（3）前、后回路感應電動勢不變，

△Φ

△t

=Blv_x，即有：

(2B-B)

tx

l2=Blv_x，
解得：l=v_xt_x                                                        
ab棒進入區(qū)域Ⅱ之前不受磁場力的作用，做勻加速直線運動，
S₁=

1

2

（0+v）t_x=0.5l          
故ab棒開始下滑的位置離區(qū)域Ⅱ上邊界的距離為0.5l．                                   
（4）ab棒進入區(qū)域Ⅱ后作勻速直線運動，t₂=t_x，總時間：
t_總=t_x+t₂=2t_x
電動勢：E=Blv_x不變
總熱量：Q=EIt_總=2mgv_xt_xsinθ=2mglsinθ
故回路中產生總的熱量為：Q=2mglsinθ．

點評：解決這類問題的關鍵是弄清電路結構，正確分析電路中的電流以及安培力的變化情況．