Question

一輕彈簧直立在地面上，其勁度系數(shù)為k=400N/m，彈簧的上端與盒子A連接在一起，盒子內(nèi)裝有物體B，B的上下表面恰與盒子接觸，如圖所示，A和B的質(zhì)量m_A=m_B=1kg，g=10m/s²，不計阻力，先將A向上抬高使彈簧伸長5cm后從靜止釋放，A和B一起做上下方向的簡諧運動，已知彈簧的彈性勢能決定于彈簧的形變大小，試求：
（1）盒子A的振幅；
（2）盒子A的最大速度；
（3）當(dāng)A、B的位移為正的最大和負(fù)的最大時，A對B的作用力的大小分別是多少．（令向上方向為正方向）

Answer 1

分析：（1）簡諧運動的振幅A是振動物體離開平衡位置的最大距離，根據(jù)此定義，可先求出振子在平衡位置時，彈簧的壓縮量，即可求解A．
（2）振子到達平衡位置時B的速率最大，從開始到平衡位置，運用機械能守恒定律列式，可求出B的最大速率．
（3）先由整體法求出加速度，再隔離B，運用牛頓第二定律求解．

解答：解：（1）振子在平衡位置時，所受合力為零，設(shè)此時彈簧被壓縮△x．（m_A+m_B）g=k△x，
代入數(shù)據(jù)解得△x=0.05m=5cm
開始釋放時振子處在最大位移處，故振幅A為：A=5cm+5cm=10cm．
（2）由于開始時彈簧的伸長量恰等于振子在平衡位置時彈簧的壓縮量，故彈性勢能相等，設(shè)振子的最大速率為v，從開始到平衡位置，根據(jù)機械能守恒定律：
  mg?A=

1

2

mv²
則得 v=

2g A

=1.4m/s，即B的最大速率為1.4m/s       
（3）在最高點，振子受到的重力和彈力方向相同，根據(jù)牛頓第二定律：
對AB整體，有a=

k△x+(mA+mB)

mA+mB

=20m/s²；
A對B的作用力方向向下，其大小N₁為：N₁=m_Ba-m_Bg=10N
在最低點，振子受到的重力和彈力方向相反，根據(jù)牛頓第二定律：a=

k(△x+A)-(mA+mB)

mA+mB

=20m/s²；
A對B的作用力方向向上，其大小N₂為：N₂=m_Ba+m_Bg=30N
答：
（1）物體A的振幅是10cm．
（2）物體B的最大速率是1.4m/s．
（3）在最高點A對B的作用力方向向下，其大小為10N，在最低點A對B的作用力方向向上，其大小為30N．

點評：本題要緊扣振幅的定義，運用胡克定律、牛頓第二定律和機械能守恒結(jié)合進行分析和求解．