Question

使用“彈簧式角速度測(cè)量?jī)x”可以測(cè)量運(yùn)動(dòng)裝置自轉(zhuǎn)時(shí)角速度的大小，其結(jié)構(gòu)示意圖如圖所示．將測(cè)量?jī)x固定在待測(cè)裝置上，當(dāng)裝置繞豎直固定軸OO′轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，與輕彈簧相連的小球A可在光滑絕緣細(xì)桿BC上滑動(dòng)，同時(shí)帶動(dòng)連接在A(yíng)上的滑動(dòng)變阻器的動(dòng)觸片P在與BC平行的電阻絲MN上滑動(dòng)，使得電壓表V的示數(shù)U₀隨裝置轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度ω發(fā)生變化，據(jù)此可測(cè)出待測(cè)裝置的角速度ω的大�。�
已知：小球A的質(zhì)量為m；彈簧的原長(zhǎng)為x₀、勁度系數(shù)為k；電阻MN粗細(xì)均勻、長(zhǎng)度為L(zhǎng)、阻值為R；電壓表V通過(guò)兩根導(dǎo)線(xiàn)分別接在電阻絲MN的中點(diǎn)Q和動(dòng)觸片P上，電阻絲MN的兩端接在電壓為U的直流穩(wěn)壓電源上．閉合開(kāi)關(guān)后S測(cè)量?jī)x器即可工作．若不計(jì)導(dǎo)線(xiàn)和動(dòng)觸片P的電阻、以及導(dǎo)線(xiàn)對(duì)動(dòng)觸片P的影響，忽略動(dòng)觸片P和電阻MN之間的摩擦，且電壓表視為理想電表．裝置靜止時(shí)，動(dòng)觸片P與Q（導(dǎo)線(xiàn)和電阻的連接點(diǎn)）重合．
（1）試推導(dǎo)：待測(cè)裝置自轉(zhuǎn)的角速度ω與電壓表V的示數(shù)U₀之間的關(guān)系式．
（2）用該測(cè)量?jī)x能測(cè)量的自轉(zhuǎn)角速度的最大值ω_m是多少？

Answer 1

分析：（1）對(duì)于小球，根據(jù)彈力提供向心力列式；對(duì)于電路，根據(jù)閉合電路歐姆定律列式求解出電壓表達(dá)式；最后聯(lián)立得到角速度ω與電壓表V的示數(shù)U₀之間的關(guān)系式；
（2）當(dāng)角速度達(dá)到最大時(shí)，電壓表讀數(shù)為電源電壓的一半，同時(shí)彈簧行變量最大，代入第一問(wèn)即可．

解答：解：（1）設(shè)待測(cè)裝置自轉(zhuǎn)的角速度為ω時(shí)，彈簧伸長(zhǎng)量為x，電壓表V的示數(shù)為U₀，小球A做圓周運(yùn)動(dòng)的半徑為 r=x₀+x，彈簧彈力為F．
根據(jù)牛頓第二定律，有　　　F=mω²r               ①
由胡克定律　　　　　　　　F=kx                 ②
電壓表V的示數(shù)（即P、Q間的電壓）為U₀，設(shè)P、Q間的電阻值為R_x，有

U0

U

=

Rx

R

=

x

L

     ③
①、②、③式聯(lián)立，得ω=

k m(1+ x0U LU0 )

             ④
（2）用該測(cè)量?jī)x測(cè)量某裝置自轉(zhuǎn)的角速度為最大值ω_m時(shí)，有：
x=

1

2

L                                        ⑤
U0=

1

2

U                                      ⑥
代入④式，得  ωm=

k m(1+ 2x0 L )

答：（1）待測(cè)裝置自轉(zhuǎn)的角速度ω與電壓表V的示數(shù)U₀之間的關(guān)系式為

k m(1+ x0U LU0 )

．
（2）用該測(cè)量?jī)x能測(cè)量的自轉(zhuǎn)角速度的最大值ω_m是

k m(1+ 2x0 L )

．

點(diǎn)評(píng)：本題關(guān)鍵是明確儀器的工作原理，然后結(jié)合牛頓第二定律、向心力公式、閉合電路歐姆定律列式．力與點(diǎn)的聯(lián)系點(diǎn)在彈簧的長(zhǎng)度．