Question

如圖甲所示，兩平行金屬板A、B的板長(zhǎng)l=

3

10

m，板間距d=0.10m，在金屬板右側(cè)有一范圍足夠大的方向垂直于紙面向里的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，其邊界為MN，與金屬板垂直．在t=0時(shí)刻，兩金屬板間加如圖乙所示的正弦交變電壓，勻強(qiáng)磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度B=1.0×10^-2T．現(xiàn)從t=0開始，從兩極板左側(cè)的中點(diǎn)O以每秒鐘1000個(gè)的數(shù)量不間斷地釋放出某種正電荷，這種帶正電的粒子均以v₀=

3

2

×10⁵m/s的速度沿兩板間的中線OO′連續(xù)進(jìn)入電場(chǎng)，經(jīng)電場(chǎng)后射入磁場(chǎng)．已知帶電粒子的比荷

q

m

=1.25×10⁷C/kg，粒子的重力忽略不計(jì)，假設(shè)在粒子通過電場(chǎng)區(qū)域的極短時(shí)間內(nèi)極板間的電壓可以看作不變，不計(jì)粒子間的相互作用．求：
（1）t=0時(shí)刻進(jìn)入的粒子，經(jīng)邊界MN射入磁場(chǎng)和射出磁場(chǎng)時(shí)兩點(diǎn)間的距離（結(jié)果保留兩位有效數(shù)字）；
（2）每秒鐘有多少個(gè)帶正電的粒子進(jìn)入磁場(chǎng)；
（3）何時(shí)由O點(diǎn)進(jìn)入的帶電粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間最長(zhǎng)，最長(zhǎng)時(shí)間為多少？（π≈3）

Answer 1

分析：（1）t=0時(shí)刻，電壓為0，故粒子在電場(chǎng)中不會(huì)發(fā)生偏轉(zhuǎn)，由洛侖茲力充當(dāng)向心力公式可得出粒子的偏轉(zhuǎn)半徑；由幾何關(guān)系可得出入射點(diǎn)與出射點(diǎn)間的距離；
（2）隨著電壓的增大，粒子的偏轉(zhuǎn)位移也增大；則能穿出電場(chǎng)的臨界條件是粒子恰好打在板的最右端；由類平拋運(yùn)動(dòng)的規(guī)律可求得臨界電壓；由圖可求得能進(jìn)入磁場(chǎng)的粒子個(gè)數(shù)；
（3）要使粒子運(yùn)動(dòng)時(shí)間最長(zhǎng)，則粒子在磁場(chǎng)中轉(zhuǎn)過的圓心角應(yīng)最大；由幾何關(guān)系可得粒子在磁場(chǎng)中的圓心角，從而求出最長(zhǎng)時(shí)間．

解答：解：（1）t=0時(shí)，U_AB=0，帶電粒子在極板間不偏轉(zhuǎn)，水平射入磁場(chǎng)，由qvB=m

v 2 0

r

得   r=

mv0

qB

①
射入和射出磁場(chǎng)時(shí)，兩點(diǎn)間的距離為s=2r    ②
由①②可得s=1.4m                        ③
（2）設(shè)：當(dāng)兩極板電壓為u時(shí)，由O點(diǎn)射入的粒子剛好從板的邊緣進(jìn)入磁場(chǎng)，則有

1

2

d=

1

2

at2④
qE=ma⑤，
E=

u

d

⑥
t=

l

v0

⑦
由④⑤⑥⑦式得：U=

md2 v 2 0

ql2

，代入數(shù)據(jù)得：U=200V       ⑧
由乙圖可知，在每周期內(nèi)只有0～

1

8

T0，

3

8

T0～

5

8

T0，

7

8

T0～T₀，時(shí)間段內(nèi)由O射入的粒子才能通過電場(chǎng)而進(jìn)入磁場(chǎng)，即只有一半的時(shí)間內(nèi)有粒子能進(jìn)入磁場(chǎng)，所以每秒鐘有500個(gè)粒子進(jìn)入磁場(chǎng)．
（3）只有當(dāng)A板電勢(shì)高于B板電勢(shì)，且沿B板右側(cè)邊緣進(jìn)入磁場(chǎng)的粒子，由于在電場(chǎng)中的偏轉(zhuǎn)角最大，使得其在磁場(chǎng)中做圓周運(yùn)動(dòng)對(duì)應(yīng)的圓心角最大，故在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間最長(zhǎng)，如圖所示．即t=(n+

1

8

)T0，（n=0，1，2，3，…）⑨
或t=(n+

3

8

)T0，（n=0，1，2，3，…）⑩
這些時(shí)刻入射的粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間最長(zhǎng)．
由帶電粒子在電場(chǎng)中做類平拋運(yùn)動(dòng)的特點(diǎn)可得tanθ=

d 2

l 2

=

3

3

，θ=30°   （11）
設(shè)粒子在磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的周期T，所求的最長(zhǎng)時(shí)間為t′，則有T=

2πm

qB

（12）
由幾何關(guān)系得粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的圓心角240°，
則 t′=

2

3

T（13）
由（12）（13）式代入數(shù)據(jù)得t′=3.2×10^-5s      
答：（1）t=0時(shí)刻進(jìn)入的粒子，經(jīng)邊界MN射入磁場(chǎng)和射出磁場(chǎng)時(shí)兩點(diǎn)間的距離為1.4m；
（2）每秒鐘有500個(gè)帶正電的粒子進(jìn)入磁場(chǎng)；
（3）t=(n+

1

8

)T0或t=(n+

3

8

)T0時(shí)由O點(diǎn)進(jìn)入的帶電粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間最長(zhǎng)，
最長(zhǎng)時(shí)間為3.2×10^-5s．

點(diǎn)評(píng)：本題應(yīng)注意題意中給出的條件，在粒子穿出電場(chǎng)的時(shí)間極短，電壓看作不變；同時(shí)要注意帶電粒子在磁場(chǎng)中的偏轉(zhuǎn)類題目一定要找清幾何關(guān)系．