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        1. (2013?棗莊一模)如圖甲所示,兩平行金厲板A,B的板長L=0.2m,板間距d=0.2m.兩金屬板 間加如圖乙所示的交變電壓,并在兩板間形成交變的勻強(qiáng)電場,忽略其邊緣效應(yīng).在金 屬板上側(cè)有方向垂直于紙面向里的勻強(qiáng)磁場,其上下寬度D=0.4m,左右范圍足夠大,邊界MN和PQ均與金屬板垂直,勻強(qiáng)磁場的磁感應(yīng)強(qiáng)度B=1x 1O-2T.在極板下側(cè)中點(diǎn)O處有一粒子源,從t=0時(shí)起不斷地沿著00'發(fā)射比荷
          q
          m
          =1x108C/kg、初速度v0=2x 105m/s的帶正電粒子.忽略粒子重力、粒子間相互作用以及粒子在極板間飛行時(shí)極 板間的電壓變化.sin30=0.5,sin37=0.6,sin45=
          2
          2

          (1)求粒子進(jìn)入磁場時(shí)的最大速率
          (2)對于在磁場中飛行時(shí)間最長的粒子,求出其在磁場中飛行的時(shí)間以及由0點(diǎn)出發(fā) 的可能時(shí)刻.
          (3)對于所有能從MN邊界飛出磁場的粒子,試求這些粒子在MN邊界上出射區(qū)域的寬度.
          分析:(1)粒子在電場中做類平拋運(yùn)動(dòng),恰從金屬板邊緣飛出時(shí),進(jìn)入磁場時(shí)的速率最大.根據(jù)運(yùn)動(dòng)學(xué)公式和牛頓第二定律結(jié)合此時(shí)AB兩板間的電壓,根據(jù)動(dòng)能定理求得粒子進(jìn)入磁場時(shí)的最大速率;
          (2)粒子進(jìn)入磁場后由洛倫茲力提供向心力而做勻速圓周運(yùn)動(dòng).在磁場中飛行時(shí)間最長的粒子,其運(yùn)動(dòng)軌跡應(yīng)在電場中向B板偏轉(zhuǎn),在磁場中恰好與上邊界相切,畫出軌跡,由牛頓第二定律、平行四邊形定則、幾何關(guān)系及運(yùn)動(dòng)學(xué)公式結(jié)合求解最長的時(shí)間.由速度分解和牛頓第二定律求得對應(yīng)AB兩板間的電壓,結(jié)合UAB-t圖象可得即可得到由0點(diǎn)出發(fā)的可能時(shí)刻;
          (3)結(jié)合上題的結(jié)果,得到對于所有能從MN邊界飛出磁場的粒子,射出時(shí)都集中在電壓U1=+300V時(shí)和電壓U2=-400V時(shí)射出點(diǎn)CG之間的范圍內(nèi),畫出軌跡,由運(yùn)動(dòng)學(xué)公式、牛頓第二定律、幾何知識結(jié)合求得這些粒子在MN邊界上出射區(qū)域的寬度.
          解答:解:(1)設(shè)粒子恰從金屬板邊緣飛出時(shí),AB兩板間的電壓為U0,由運(yùn)動(dòng)學(xué)公式及牛頓第二定律得:
           
          1
          2
          d=
          1
          2
          a1t2
           
            qE1=ma1
            E1=
          U0
          d

            t=
          L
          v0

          聯(lián)立以上各式,解得,U0=400V<500V
          設(shè)粒子進(jìn)入磁場時(shí)的最大速率為vm,由動(dòng)能定理得
           q?
          1
          2
          U0
          =
          1
          2
          m
          v
          2
          m
          -
          1
          2
          m
          v
          2
          0

          解得,vm=2
          2
          ×105m/s
          (2)分析可知,在磁場中飛行時(shí)間最長的粒子,其運(yùn)動(dòng)軌跡應(yīng)在電場中向B板偏轉(zhuǎn),在磁場中恰好與上邊界相切,如圖所示,設(shè)粒子進(jìn)入磁場時(shí),速度v與OO′成θ角,在磁場中運(yùn)動(dòng)時(shí)間為tm,由牛頓第二定律、平行四邊形定則、幾何關(guān)系及運(yùn)動(dòng)學(xué)公式得
             qvB=m
          v2
          R

             v=
          v0
          cosθ

            R(1+sinθ)=D
            T=
          2πm
          qB

           tm=
          180°+2θ
          360°
          ?T

          聯(lián)立上述各式,解得,θ=37°,tm=
          127
          90
          π×10-6s
          ≈4.43×10-6s
          設(shè)這些粒子進(jìn)入磁場時(shí)在垂直于金屬板方向的速度為vy,對應(yīng)AB兩板間的電壓為U1,在電場中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t1,由O點(diǎn)出發(fā)的可能時(shí)間為t,則有
             vy=v0tanθ
             vy=a2t1
             qE2=ma2
             E2=
          U1
          d

          聯(lián)立解得,U1=300V
          結(jié)合UAB-t圖象可得,當(dāng)U1=300V時(shí),在一個(gè)周期內(nèi)對應(yīng)的時(shí)刻為:t0=0.4s或3.6s,因?yàn)殡妷旱闹芷跒門=4s,所以粒子在O點(diǎn)出發(fā)可能時(shí)刻為
             t=nT+t0
          即 t=(4n+0.4)s或(4n+3.6)s,其中 n=0,1,2,…
          (3)對于所有能從MN邊界飛出磁場的粒子,射出時(shí)都集中在電壓U1=+300V時(shí)和電壓U2=-400V時(shí)射出點(diǎn)CG之間的范圍內(nèi),如圖所示.
          對于電壓U1=+300V射出的粒子,設(shè)O′D=y,則由運(yùn)動(dòng)學(xué)公式和牛頓第二定律得
            y=
          1
          2
          a2
          t
          2
          1

            qE2=ma2,
             E2=
          U1
          d

          解得,y=0.075m
          由第(2)問,該粒子在磁場中的運(yùn)動(dòng)半徑為R,射出電場時(shí)速度v與OO′成θ角.設(shè)在MN邊界上的射出點(diǎn)C和射入點(diǎn)D之間的距離為s1,根據(jù)牛頓第二定律、平行四邊形定則和幾何關(guān)系得
             qvB=m
          v2
          R

             v=
          v0
          cosθ

            s1=2Rcosθ
          聯(lián)立解得,s1=0.4m.
          同理可知,對于U2=-400V時(shí)射出的粒子,GH間的距離為s2為:s2=
          2mv0
          qB

          設(shè)在MN邊界是粒子出射區(qū)域的寬度為L,由幾何關(guān)系可知:
            L=s2+
          1
          2
          d+y-s1

          代入解得,L=0.175m
          答:(1)粒子進(jìn)入磁場時(shí)的最大速率是2
          2
          ×105m/s.
          (2)對于在磁場中飛行時(shí)間最長的粒子,在磁場中飛行的時(shí)間是4.43×10-6s,由0點(diǎn)出發(fā)的可能時(shí)刻是t=(4n+0.4)s或(4n+3.6)s,其中 n=0,1,2,….
          (3)對于所有能從MN邊界飛出磁場的粒子在MN邊界上出射區(qū)域的寬度是0.175m.
          點(diǎn)評:本題考查帶電在電磁場中的運(yùn)動(dòng),綜合考查了牛頓定律、動(dòng)能定理、受力分析等方面的知識和規(guī)律.對考生的分析綜合能力、應(yīng)用數(shù)學(xué)知識的能力要求較高.
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