有一列簡諧波沿x軸正方向傳播．在x軸上每相隔1m依次有A、B、C、D、E、F、G、H、I等9個(gè)質(zhì)點(diǎn)．A是波源．開始t =0時(shí)刻觀察到質(zhì)點(diǎn)A在x軸上剛向上運(yùn)動(dòng)，在 t =0.1s質(zhì)點(diǎn)A第一次到達(dá)正向最大位移處，此時(shí)質(zhì)點(diǎn)C剛開始在x軸上向上運(yùn)動(dòng)，由此可以判定
[ ]
A．這列波的波長為8m，周期為0.2s
B．這列波的波速為20m/s，頻率為2.5Hz
C．質(zhì)點(diǎn) I 第一次到達(dá)正向最大位移處在0.50s時(shí)刻
D．質(zhì)點(diǎn) I 第一次到達(dá)正向最大位移處在0.45s時(shí)刻
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如圖為一列正沿x軸負(fù)方向傳播的簡諧波，在t=0時(shí)的波形，當(dāng)S點(diǎn)在t=0時(shí)的振動(dòng)傳播到R點(diǎn)時(shí)，PR范圍內(nèi)（含P、R）有一些質(zhì)點(diǎn)正在向y軸負(fù)方向運(yùn)動(dòng)，這些質(zhì)點(diǎn)的x軸坐標(biāo)范圍是（ �。�| A、2cm≤x≤4cm | B、2cm＜x＜4cm | C、2cm＜x≤3cm | D、2cm≤x＜3cm |
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A、屏M自上而下分布的色光的波長由小到大
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第六部分 振動(dòng)和波
第一講 基本知識(shí)介紹
《振動(dòng)和波》的競賽考綱和高考要求有很大的不同，必須做一些相對(duì)詳細(xì)的補(bǔ)充。
一、簡諧運(yùn)動(dòng)
1、簡諧運(yùn)動(dòng)定義：
= －k
①
凡是所受合力和位移滿足①式的質(zhì)點(diǎn)，均可稱之為諧振子，如彈簧振子、小角度單擺等。
諧振子的加速度：
= －
2、簡諧運(yùn)動(dòng)的方程
回避高等數(shù)學(xué)工具，我們可以將簡諧運(yùn)動(dòng)看成勻速圓周運(yùn)動(dòng)在某一條直線上的投影運(yùn)動(dòng)（以下均看在x方向的投影），圓周運(yùn)動(dòng)的半徑即為簡諧運(yùn)動(dòng)的振幅A 。
依據(jù)：
x = －mω2Acosθ= －mω2
對(duì)于一個(gè)給定的勻速圓周運(yùn)動(dòng)，m、ω是恒定不變的，可以令：
mω2 = k
這樣，以上兩式就符合了簡諧運(yùn)動(dòng)的定義式①。所以，x方向的位移、速度、加速度就是簡諧運(yùn)動(dòng)的相關(guān)規(guī)律。從圖1不難得出——
位移方程：
= Acos(ωt + φ) ②
速度方程：
= －ωAsin(ωt +φ) ③
加速度方程：
= －ω2A cos(ωt +φ) ④
相關(guān)名詞：(ωt +φ)稱相位，φ稱初相。
運(yùn)動(dòng)學(xué)參量的相互關(guān)系：
= －ω2
A = 
tgφ= －
3、簡諧運(yùn)動(dòng)的合成
a、同方向、同頻率振動(dòng)合成。兩個(gè)振動(dòng)x1 = A1cos(ωt +φ1)和x2 = A2cos(ωt +φ2) 合成，可令合振動(dòng)x = Acos(ωt +φ) ，由于x = x1 + x2 ，解得
A = 
，φ= arctg 
顯然，當(dāng)φ2－φ1 = 2kπ時(shí)（k = 0，±1，±2，…），合振幅A最大，當(dāng)φ2－φ1 = （2k + 1）π時(shí)（k = 0，±1，±2，…），合振幅最小。
b、方向垂直、同頻率振動(dòng)合成。當(dāng)質(zhì)點(diǎn)同時(shí)參與兩個(gè)垂直的振動(dòng)x = A1cos(ωt + φ1)和y = A2cos(ωt + φ2)時(shí)，這兩個(gè)振動(dòng)方程事實(shí)上已經(jīng)構(gòu)成了質(zhì)點(diǎn)在二維空間運(yùn)動(dòng)的軌跡參數(shù)方程，消去參數(shù)t后，得一般形式的軌跡方程為
+
－2
cos(φ2－φ1) = sin2(φ2－φ1)
顯然，當(dāng)φ2－φ1 = 2kπ時(shí)（k = 0，±1，±2，…），有y = 
x ，軌跡為直線，合運(yùn)動(dòng)仍為簡諧運(yùn)動(dòng)；
當(dāng)φ2－φ1 = （2k + 1）π時(shí)（k = 0，±1，±2，…），有
+
= 1 ，軌跡為橢圓，合運(yùn)動(dòng)不再是簡諧運(yùn)動(dòng)；
當(dāng)φ2－φ1取其它值，軌跡將更為復(fù)雜，稱“李薩如圖形”，不是簡諧運(yùn)動(dòng)。
c、同方向、同振幅、頻率相近的振動(dòng)合成。令x1 = Acos(ω1t + φ)和x2 = Acos(ω2t + φ) ，由于合運(yùn)動(dòng)x = x1 + x2 ，得：x =（2Acos
t）cos（
t +φ）。合運(yùn)動(dòng)是振動(dòng)，但不是簡諧運(yùn)動(dòng)，稱為角頻率為
的“拍”現(xiàn)象。
4、簡諧運(yùn)動(dòng)的周期
由②式得：ω= 
，而圓周運(yùn)動(dòng)的角速度和簡諧運(yùn)動(dòng)的角頻率是一致的，所以
T = 2π
⑤
5、簡諧運(yùn)動(dòng)的能量
一個(gè)做簡諧運(yùn)動(dòng)的振子的能量由動(dòng)能和勢能構(gòu)成，即
= 
mv2 + 
kx2 = 
kA2
注意：振子的勢能是由（回復(fù)力系數(shù)）k和（相對(duì)平衡位置位移）x決定的一個(gè)抽象的概念，而不是具體地指重力勢能或彈性勢能。當(dāng)我們計(jì)量了振子的抽象勢能后，其它的具體勢能不能再做重復(fù)計(jì)量。
6、阻尼振動(dòng)、受迫振動(dòng)和共振
和高考要求基本相同。
二、機(jī)械波
1、波的產(chǎn)生和傳播
產(chǎn)生的過程和條件；傳播的性質(zhì)，相關(guān)參量（決定參量的物理因素）
2、機(jī)械波的描述
a、波動(dòng)圖象。和振動(dòng)圖象的聯(lián)系
b、波動(dòng)方程
如果一列簡諧波沿x方向傳播，振源的振動(dòng)方程為y = Acos（ωt + φ），波的傳播速度為v ，那么在離振源x處一個(gè)振動(dòng)質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)方程便是
y = Acos〔ωt + φ - 
·2π〕= Acos〔ω（t - 
）+ φ〕
這個(gè)方程展示的是一個(gè)復(fù)變函數(shù)。對(duì)任意一個(gè)時(shí)刻t ，都有一個(gè)y（x）的正弦函數(shù)，在x-y坐標(biāo)下可以描繪出一個(gè)瞬時(shí)波形。所以，稱y = Acos〔ω（t - 
）+ φ〕為波動(dòng)方程。
3、波的干涉
a、波的疊加。幾列波在同一介質(zhì)種傳播時(shí)，能獨(dú)立的維持它們的各自形態(tài)傳播，在相遇的區(qū)域則遵從矢量疊加（包括位移、速度和加速度的疊加）。
b、波的干涉。兩列波頻率相同、相位差恒定時(shí)，在同一介質(zhì)中的疊加將形成一種特殊形態(tài)：振動(dòng)加強(qiáng)的區(qū)域和振動(dòng)削弱的區(qū)域穩(wěn)定分布且彼此隔開。
我們可以用波程差的方法來討論干涉的定量規(guī)律。如圖2所示，我們用S1和S2表示兩個(gè)波源，P表示空間任意一點(diǎn)。
當(dāng)振源的振動(dòng)方向相同時(shí)，令振源S1的振動(dòng)方程為y1 = A1cosωt ，振源S1的振動(dòng)方程為y2 = A2cosωt ，則在空間P點(diǎn)（距S1為r1 ，距S2為r2），兩振源引起的分振動(dòng)分別是
y1′= A1cos〔ω（t ? 
）〕
y2′= A2cos〔ω（t ? 
）〕
P點(diǎn)便出現(xiàn)兩個(gè)頻率相同、初相不同的振動(dòng)疊加問題（φ1 = 
，φ2 = 
），且初相差Δφ= 
（r2 – r1）。根據(jù)前面已經(jīng)做過的討論，有
r2 ? r1 = kλ時(shí)（k = 0，±1，±2，…），P點(diǎn)振動(dòng)加強(qiáng)，振幅為A1 + A2 ；
r2 ? r1 =（2k ? 1）
時(shí)（k = 0，±1，±2，…），P點(diǎn)振動(dòng)削弱，振幅為│A1－A2│。
4、波的反射、折射和衍射
知識(shí)點(diǎn)和高考要求相同。
5、多普勒效應(yīng)
當(dāng)波源或者接受者相對(duì)與波的傳播介質(zhì)運(yùn)動(dòng)時(shí)，接收者會(huì)發(fā)現(xiàn)波的頻率發(fā)生變化。多普勒效應(yīng)的定量討論可以分為以下三種情況（在討論中注意：波源的發(fā)波頻率f和波相對(duì)介質(zhì)的傳播速度v是恒定不變的）——
a、只有接收者相對(duì)介質(zhì)運(yùn)動(dòng)（如圖3所示）
設(shè)接收者以速度v1正對(duì)靜止的波源運(yùn)動(dòng)。
如果接收者靜止在A點(diǎn)，他單位時(shí)間接收的波的個(gè)數(shù)為f ，
當(dāng)他迎著波源運(yùn)動(dòng)時(shí)，設(shè)其在單位時(shí)間到達(dá)B點(diǎn)，則
= v1 ，、
在從A運(yùn)動(dòng)到B的過程中，接收者事實(shí)上“提前”多接收到了n個(gè)波
n = 
= 
= 
顯然，在單位時(shí)間內(nèi)，接收者接收到的總的波的數(shù)目為：f + n = 
f ，這就是接收者發(fā)現(xiàn)的頻率f1 。即
f1 = 
f
顯然，如果v1背離波源運(yùn)動(dòng)，只要將上式中的v1代入負(fù)值即可。如果v1的方向不是正對(duì)S ，只要將v1出正對(duì)的分量即可。
b、只有波源相對(duì)介質(zhì)運(yùn)動(dòng)（如圖4所示）
設(shè)波源以速度v2正對(duì)靜止的接收者運(yùn)動(dòng)。
如果波源S不動(dòng)，在單位時(shí)間內(nèi)，接收者在A點(diǎn)應(yīng)接收f個(gè)波，故S到A的距離：
= fλ
在單位時(shí)間內(nèi)，S運(yùn)動(dòng)至S′，即
= v2 。由于波源的運(yùn)動(dòng)，事實(shí)造成了S到A的f個(gè)波被壓縮在了S′到A的空間里，波長將變短，新的波長
λ′= 
= 
= 
= 
而每個(gè)波在介質(zhì)中的傳播速度仍為v ，故“被壓縮”的波（A接收到的波）的頻率變?yōu)?/p>
f2 = 
= 
f
當(dāng)v2背離接收者，或有一定夾角的討論，類似a情形。
c、當(dāng)接收者和波源均相對(duì)傳播介質(zhì)運(yùn)動(dòng)
當(dāng)接收者正對(duì)波源以速度v1（相對(duì)介質(zhì)速度）運(yùn)動(dòng)，波源也正對(duì)接收者以速度v2（相對(duì)介質(zhì)速度）運(yùn)動(dòng)，我們的討論可以在b情形的過程上延續(xù)…
f3 = 
f2 = 
f
關(guān)于速度方向改變的問題，討論類似a情形。
6、聲波
a、樂音和噪音
b、聲音的三要素：音調(diào)、響度和音品
c、聲音的共鳴
第二講 重要模型與專題
一、簡諧運(yùn)動(dòng)的證明與周期計(jì)算
物理情形：如圖5所示，將一粗細(xì)均勻、兩邊開口的U型管固定，其中裝有一定量的水銀，汞柱總長為L 。當(dāng)水銀受到一個(gè)初始的擾動(dòng)后，開始在管中振動(dòng)。忽略管壁對(duì)汞的阻力，試證明汞柱做簡諧運(yùn)動(dòng)，并求其周期。
模型分析：對(duì)簡諧運(yùn)動(dòng)的證明，只要以汞柱為對(duì)象，看它的回復(fù)力與位移關(guān)系是否滿足定義式①，值得注意的是，回復(fù)力
系指振動(dòng)方向上的合力（而非整體合力）。當(dāng)簡諧運(yùn)動(dòng)被證明后，回復(fù)力系數(shù)k就有了，求周期就是順理成章的事。
本題中，可設(shè)汞柱兩端偏離平衡位置的瞬時(shí)位移為x 、水銀密度為ρ、U型管橫截面積為S ，則次瞬時(shí)的回復(fù)力
ΣF = ρg2xS = 
x
由于L、m為固定值，可令：
= k ，而且ΣF與x的方向相反，故汞柱做簡諧運(yùn)動(dòng)。
周期T = 2π
= 2π
答：汞柱的周期為2π
。
學(xué)生活動(dòng)：如圖6所示，兩個(gè)相同的柱形滾輪平行、登高、水平放置，繞各自的軸線等角速、反方向地轉(zhuǎn)動(dòng)，在滾輪上覆蓋一塊均質(zhì)的木板。已知兩滾輪軸線的距離為L 、滾輪與木板之間的動(dòng)摩擦因素為μ、木板的質(zhì)量為m ，且木板放置時(shí)，重心不在兩滾輪的正中央。試證明木板做簡諧運(yùn)動(dòng)，并求木板運(yùn)動(dòng)的周期。
思路提示：找平衡位置（木板重心在兩滾輪中央處）→ú力矩平衡和Σ?F6= 0結(jié)合求兩處彈力→ú求摩擦力合力…
答案：木板運(yùn)動(dòng)周期為2π
。
鞏固應(yīng)用：如圖7所示，三根長度均為L = 2.00m地質(zhì)量均勻直桿，構(gòu)成一正三角形框架ABC，C點(diǎn)懸掛在一光滑水平軸上，整個(gè)框架可繞轉(zhuǎn)軸轉(zhuǎn)動(dòng)。桿AB是一導(dǎo)軌，一電動(dòng)松鼠可在導(dǎo)軌上運(yùn)動(dòng)�，F(xiàn)觀察到松鼠正在導(dǎo)軌上運(yùn)動(dòng)，而框架卻靜止不動(dòng)，試討論松鼠的運(yùn)動(dòng)是一種什么樣的運(yùn)動(dòng)。
解說：由于框架靜止不動(dòng)，松鼠在豎直方向必平衡，即：松鼠所受框架支持力等于松鼠重力。設(shè)松鼠的質(zhì)量為m ，即：
N = mg ①
再回到框架，其靜止平衡必滿足框架所受合力矩為零。以C點(diǎn)為轉(zhuǎn)軸，形成力矩的只有松鼠的壓力N、和松鼠可能加速的靜摩擦力f ，它們合力矩為零，即：
MN = Mf
現(xiàn)考查松鼠在框架上的某個(gè)一般位置（如圖7，設(shè)它在導(dǎo)軌方向上距C點(diǎn)為x），上式即成：
N·x = f·Lsin60° ②
解①②兩式可得：f = 
x ，且f的方向水平向左。
根據(jù)牛頓第三定律，這個(gè)力就是松鼠在導(dǎo)軌方向上的合力。如果我們以C在導(dǎo)軌上的投影點(diǎn)為參考點(diǎn)，x就是松鼠的瞬時(shí)位移。再考慮到合力與位移的方向因素，松鼠的合力與位移滿足關(guān)系——
= －k
其中k = 
，對(duì)于這個(gè)系統(tǒng)而言，k是固定不變的。
顯然這就是簡諧運(yùn)動(dòng)的定義式。
答案：松鼠做簡諧運(yùn)動(dòng)。
評(píng)說：這是第十三屆物理奧賽預(yù)賽試題，問法比較模糊。如果理解為定性求解，以上答案已經(jīng)足夠。但考慮到原題中還是有定量的條件，所以做進(jìn)一步的定量運(yùn)算也是有必要的。譬如，我們可以求出松鼠的運(yùn)動(dòng)周期為：T = 2π
= 2π
= 2.64s 。
二、典型的簡諧運(yùn)動(dòng)
1、彈簧振子
物理情形：如圖8所示，用彈性系數(shù)為k的輕質(zhì)彈簧連著一個(gè)質(zhì)量為m的小球，置于傾角為θ
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