Question

如圖，空間存在勻強(qiáng)電場和勻強(qiáng)磁場，電場方向?yàn)閥軸正方向，磁場方向垂直于xy平面（紙面）向外，電場和磁場都可以隨意加上或撤除，重新加上的電場或磁場與撤除前的一樣．一帶正電荷的粒子從P（x=0，y=h）點(diǎn)以一定的速度平行于x軸正方向入射．這時(shí)若只有磁場，粒子將做半徑為R₀的圓周運(yùn)動：若同時(shí)存在電場和磁場，粒子恰好做直線運(yùn)動．現(xiàn)在，只加電場，當(dāng)粒子從P點(diǎn)運(yùn)動到x=R₀平面（圖中虛線所示）時(shí)，立即撤除電場同時(shí)加上磁場，粒子繼續(xù)運(yùn)動，其軌跡與x軸交于M點(diǎn)，不計(jì)重力．已知h=6cm，R₀=10cm，求：
（1）粒子到達(dá)x=R₀平面時(shí)速度方向與x軸的夾角以及粒子到x軸的距離；
（2）M點(diǎn)的橫坐標(biāo)x_M．

Answer 1

分析：（1）做直線運(yùn)動時(shí)電場力等于洛倫茲力，做圓周運(yùn)動洛倫茲力提供向心力，只有電場時(shí)，粒子做類平拋運(yùn)動，聯(lián)立方程組即可求解；
（2）撤電場加上磁場后做圓周運(yùn)動洛倫茲力提供向心力，求得R，再根據(jù)幾何關(guān)系即可求解．

解答：解：（1）做直線運(yùn)動有：qE=qBv₀   ①
做圓周運(yùn)動有：qBv₀=m

v 2 0

R0

  ②
只有電場時(shí)，粒子做類平拋運(yùn)動，有：
     qE=ma     ③
     R₀=v₀t     ④
     v_y=at     ⑤
從③④⑤解得vy=

qER0

mv0

⑥，從①得E=Bv₀⑦，從②式得R0=

mv0

qB

⑧，將⑦、⑧代入⑥得：
v_y=v₀粒子速度大小為：v=

v 2 0 + v 2 y

=

2

v₀
速度方向與x軸夾角為：θ=

π

4

粒子與x軸的距離為：H=h+

1

2

at²=h+

R0

2

代入數(shù)據(jù)得H=11cm．
（2）撤電場加上磁場后，有：qBv=m

v2

R

解得：R=

2

R₀，代入數(shù)據(jù)得R=14cm．
粒子運(yùn)動軌跡如圖所示，圓心C位于與速度v方向垂直的直線上，該直線與x軸和y軸的夾角均為

π

4

，
由幾何關(guān)系得C點(diǎn)坐標(biāo)為：x_c=2R₀，代入數(shù)據(jù)得x_C=20cm
y_c=H-R₀=h-

R0

2

，代入數(shù)據(jù)得y_C=1cm
過C作x軸的垂線，在△CDM中：

.

CM

=R=

2

R₀

.

CD

=y_c=h-

R0

2

解得：

.

DM

=

. CM 2-  . CD 2

=

7 4 R 2 0 +R0h-h2

M點(diǎn)橫坐標(biāo)為：x_M=2R₀+

7 4 R 2 0 +R0h-h2

代入數(shù)據(jù)得x_M=34cm
答：（1）粒子到達(dá)x=R₀平面時(shí)速度方向與x軸的夾角為

π

4

，粒子到x軸的距離為11cm；
    （2）M點(diǎn)的橫坐標(biāo)x_M為34cm．

點(diǎn)評：該題是帶電粒子在混合場中運(yùn)動的問題，要求同學(xué)們理解僅有電場時(shí)，粒子做類平拋運(yùn)動，只有磁場時(shí)做勻速圓周運(yùn)動，再根據(jù)圓周運(yùn)動和平拋運(yùn)動的基本公式及幾何關(guān)系解題，本題難度較大．