Question

如圖所示，圖中左邊有一對(duì)平行金屬板，兩板相距為d，電壓為U．兩板之間有勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B₀，方向與金屬板面平行并垂直于紙面朝里；圖中右邊有一半徑為R、圓心為O的圓形區(qū)域，區(qū)域內(nèi)也存在勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B，方向垂直于紙面朝里．一電荷量為q的正離子沿平行于金屬板面、垂直于磁場(chǎng)的方向射入平行金屬板之間，沿同一方向射出平行金屬板之間的區(qū)域，并沿直徑PQ方向射入磁場(chǎng)區(qū)域，最后從圓形區(qū)域邊界上的G點(diǎn)射出，已知弧QG所對(duì)應(yīng)的圓心角為θ．離子重力不計(jì)．求：
（1）離子速度的大�。�
（2）離子在圓形磁場(chǎng)區(qū)域內(nèi)做圓周運(yùn)動(dòng)的半徑；
（3）離子的質(zhì)量．

Answer 1

分析：（1）對(duì)離子直線運(yùn)動(dòng)過程進(jìn)行受力分析，受到洛倫茲力和電場(chǎng)力作用，且二力平衡；結(jié)合勻強(qiáng)電場(chǎng)的場(chǎng)強(qiáng)與電勢(shì)差的關(guān)系式，可求出離子在電場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)速度；
（2）圓周運(yùn)動(dòng)過程，洛倫茲力提供向心力，根據(jù)牛頓第二定律列式求解軌道半徑；
（3）根據(jù)題意畫出離子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的軌跡草圖，充分利用幾何關(guān)系，結(jié)合離子在磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)半徑公式，即可求出離子的質(zhì)量．

解答：解：（1）由題設(shè)知，離子在平行金屬板之間做勻速直線運(yùn)動(dòng)，將受到的向上的洛倫茲力和向下的電場(chǎng)力，由題意知二力平衡，有：
qvB₀=qE₀ …①
式中，v是離子運(yùn)動(dòng)速度的大小．E₀是平行金屬板之間的勻強(qiáng)電場(chǎng)的強(qiáng)度，有：
E₀=

U

d

      …②
①②兩式聯(lián)立得：
v=

U

B0d

     …③
（2）由題設(shè)，離子從磁場(chǎng)邊界上的點(diǎn)G穿出，離子運(yùn)動(dòng)的圓周的圓心O′必在過P點(diǎn)垂直于PQ的直線上，且在PG的垂直一平分線上（見圖）．
由幾何關(guān)系有：
r=Rtanα   …④
式中，α是OO'與直徑EF的夾角，由幾何關(guān)系得：
2α+θ=π    …⑤
則離子運(yùn)動(dòng)半徑：
r=Rcot

θ

2

   …⑥
（3）在圓形磁場(chǎng)區(qū)域，離子做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，洛倫茲力提供向心力，由洛倫茲力公式和牛頓第二定律有：
qvB=m

v2

r

  …⑦
式中，m和r分別是離子的質(zhì)量和它做圓周運(yùn)動(dòng)的半徑．
聯(lián)立⑥⑦兩式，解得：
m=

qB0dBRcot θ 2

U

答：（1）離子速度的大小為

U

B0d

；
（2）離子在圓形磁場(chǎng)區(qū)域內(nèi)做圓周運(yùn)動(dòng)的半徑為Rcot

θ

2

；
（3）離子的質(zhì)量為

qB0dBRcot θ 2

U

．

點(diǎn)評(píng)：該題考查了帶電粒子在勻強(qiáng)電場(chǎng)和勻強(qiáng)磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)，在混合場(chǎng)中要注意對(duì)離子的受力分析；在磁場(chǎng)中要掌握住軌道半徑公式、周期公式，畫出粒子的運(yùn)動(dòng)軌跡后，半徑和偏轉(zhuǎn)角的幾何關(guān)系就比較明顯了．