Question

有許多大小不同的氣球漂浮在空氣中，如圖所示，圖中左邊P為固定的透風(fēng)網(wǎng)格，氣球受到水平向左的恒定風(fēng)力的作用，可作勻加速運(yùn)動(dòng)．已知風(fēng)對(duì)氣球的作用力與球的最大截面成正比，即F=kS（k為一常量）．對(duì)氣球來說空間存在一個(gè)風(fēng)力場，類比于電場和重力場，請(qǐng)你完成以下問題．
（1）請(qǐng)你定義風(fēng)力場的強(qiáng)度及表達(dá)式．
（2）由在該風(fēng)力場中風(fēng)力對(duì)氣球做功與路徑無關(guān)（氣球運(yùn)動(dòng)時(shí)所受阻力不計(jì)），可引入風(fēng)力勢能和風(fēng)力勢的概念．若以網(wǎng)格P為零勢能參考平面，寫出風(fēng)力勢能Ep和風(fēng)力勢U的表達(dá)式．
（3）寫出風(fēng)力場中機(jī)械能守恒定律的表達(dá)式（對(duì)氣球而言，阻力不計(jì)．氣球平均密度為ρ，氣球半徑為r，第一狀態(tài)速度為v₁，位置為x₁；第二狀態(tài)速度為v₂，位置為x₂）．
（4）某一氣球半徑為r=0.1m，在網(wǎng)格中1m處以v₀=10m/s初速度斜向拋出，它落到網(wǎng)格P處的速度為多大（空氣密度ρ=1.3kg/m³，比例常數(shù)k=10N/m²）？

Answer 1

分析：本題可以類比電場強(qiáng)度進(jìn)行分析，風(fēng)力強(qiáng)度類似于電場強(qiáng)度，與所受的分力無關(guān)，電場力所做的功等于電勢能的減小量，則風(fēng)力勢能的減小量等于風(fēng)力所做的功．

解答：解：（1）類比于電場，可定義風(fēng)力場強(qiáng)度為風(fēng)對(duì)球的作用力與球的最大截面之比，
即E=

F

S

=k，方向向左與風(fēng)的方向一致．      
（2）設(shè)球離零勢能參考面P距離為x（x與風(fēng)力方向平行），類比于重力場得：
Ep=W=kSx，
類比于電場得：U=

EP

S

=kx（風(fēng)力勢僅取決于場的性質(zhì)，與球無關(guān)）．    
（3）機(jī)械能守恒定律表達(dá)式為：

1

2

mv₁²+kSx₁=

1

2

mv₂²+kSx₂．
由于m=ρV=ρ

4

3

πr³，S=πr²，代入上式后得到：

2

3

ρrv₁²+kx₁=

2

3

ρrv₂²+kx₂． 
這就是在該風(fēng)力場中機(jī)械能守恒的普遍表達(dá)式．
（4）因?yàn)?span id="w73va2c" class="MathJye" mathtag="math" style="whiteSpace:nowrap;wordSpacing:normal;wordWrap:normal">

2

3

ρrv₁²+kx₁=

2

3

ρrv₂²，
所以v₂=

v12+3kx1 2ρr

=

102+3×10 2×1.3×0.1

=14.68m/s

答：（1）風(fēng)力場強(qiáng)度為風(fēng)對(duì)球的作用力與球的最大截面之比，E=

F

S

=k，方向向左與風(fēng)的方向一致．．
（2）風(fēng)力勢能Ep和風(fēng)力勢U的表達(dá)式為U=

EP

S

．
（3）風(fēng)力場中機(jī)械能守恒定律的表達(dá)式為

2

3

ρrv₁²+kx₁=

2

3

ρrv₂²+kx₂；

（4）它落到網(wǎng)格P處的速度為14.68m/s

點(diǎn)評(píng)：解決本題的關(guān)鍵采用類比的方法，風(fēng)力強(qiáng)度類比于電場強(qiáng)度，風(fēng)力做功與風(fēng)力勢能的關(guān)系類比于電場力做功與電勢能的關(guān)系．