Question

宇宙飛船在距火星表面H高度處作勻速圓周運(yùn)動(dòng)，火星半徑為R，今設(shè)飛船在極短時(shí)間內(nèi)向外側(cè)點(diǎn)噴氣，使飛船獲得一徑向速度，其大小為原速度的α倍，因α量很小，所以飛船新軌道不會(huì)與火星表面交會(huì)，如圖所示，飛船噴氣質(zhì)量可忽略不計(jì)．
（1）試求飛船新軌道的近火星點(diǎn)的高度h_近，和遠(yuǎn)火星點(diǎn)高度h_遠(yuǎn)．
（2）設(shè)飛船原來的運(yùn)動(dòng)速度為v，試計(jì)算新軌道的運(yùn)行周期T．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)開普勒定律中的面積定律、機(jī)械能守恒定律、牛頓第二定律列式后聯(lián)立求解；
（2）根據(jù)開普勒定律中的周期定律列式求解．
解答：解：（1）設(shè)火星和飛船的質(zhì)量分別為M和m，飛船沿橢圓軌道運(yùn)行時(shí)，飛船在最近點(diǎn)或最遠(yuǎn)點(diǎn)與火星中心的距離為r，飛船速度為v．
因飛船噴氣前繞圓軌道的面積速度為，等于噴氣后飛船繞橢圓軌道在P點(diǎn)的面積速度sinθ（P為圓和橢圓的交點(diǎn)），
由開普勒第二定律，后者又應(yīng)等于飛船在近、遠(yuǎn)火星的面積速度，
故=sinθ=
即 rv=rv          ①
由機(jī)械能守恒定律                 ②
飛船沿原圓軌道運(yùn)動(dòng)時(shí)，有                                    ③
式中 r=R+H，r=R+h
上述三個(gè)方程消去G、M、v后可解得關(guān)于r的方程為
上式有兩個(gè)解，大者為r_遠(yuǎn)，小者為r_近，即
故近、遠(yuǎn)火星點(diǎn)距火星表面的高度為，，
（2）設(shè)橢圓軌道的半長(zhǎng)軸為a，則r_近+r_遠(yuǎn)=2a
即
飛船噴氣前繞圓軌道運(yùn)行的周期為
設(shè)飛船噴氣后，繞橢圓軌道運(yùn)行的周期為T，由開普勒第三定律得
故

答：（1）試求飛船新軌道的近火星點(diǎn)的高度h_近為，遠(yuǎn)火星點(diǎn)高度h_遠(yuǎn)為；
（2）計(jì)算新軌道的運(yùn)行周期T為．
點(diǎn)評(píng)：本題是開普勒定律和機(jī)械能守恒定律的綜合運(yùn)用問題，目前對(duì)于開普勒三定律，多數(shù)省份是不要求定量計(jì)算的，較難．