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        1. 精英家教網(wǎng)宇宙飛船在距火星表面H高度處作勻速圓周運(yùn)動(dòng),火星半徑為R,今設(shè)飛船在極短時(shí)間內(nèi)向外側(cè)點(diǎn)噴氣,使飛船獲得一徑向速度,其大小為原速度的α倍,因α量很小,所以飛船新軌道不會(huì)與火星表面交會(huì),如圖所示,飛船噴氣質(zhì)量可忽略不計(jì).
          (1)試求飛船新軌道的近火星點(diǎn)的高度h,和遠(yuǎn)火星點(diǎn)高度h遠(yuǎn)
          (2)設(shè)飛船原來(lái)的運(yùn)動(dòng)速度為v0,試計(jì)算新軌道的運(yùn)行周期T.
          分析:(1)根據(jù)開普勒定律中的面積定律、機(jī)械能守恒定律、牛頓第二定律列式后聯(lián)立求解;
          (2)根據(jù)開普勒定律中的周期定律列式求解.
          解答:解:(1)設(shè)火星和飛船的質(zhì)量分別為M和m,飛船沿橢圓軌道運(yùn)行時(shí),飛船在最近點(diǎn)或最遠(yuǎn)點(diǎn)與火星中心的距離為r,飛船速度為v.
          因飛船噴氣前繞圓軌道的面積速度為
          1
          2
          r0v0
          ,等于噴氣后飛船繞橢圓軌道在P點(diǎn)的面積速度
          1
          2
          r0vp
          sinθ(P為圓和橢圓的交點(diǎn)),
          由開普勒第二定律,后者又應(yīng)等于飛船在近、遠(yuǎn)火星的面積速度
          1
          2
          rv
          ,
          1
          2
          r0v0
          =
          1
          2
          r0vp
          sinθ=
          1
          2
          rv

          即 r0v0=rv            ①
          由機(jī)械能守恒定律 
          1
          2
          mv2-G
          Mm
          r
          =
          1
          2
          m(
          v
          2
          0
          +a2
          v
          2
          0
          )-G
          Mm
          r0
                          ②
          飛船沿原圓軌道運(yùn)動(dòng)時(shí),有 G
          Mm
          r
          2
          0
          =m
          v
          2
          0
          r0
                                             ③
          式中 r0=R+H,r=R+h
          上述三個(gè)方程消去G、M、v0后可解得關(guān)于r的方程為(1-α2)r2-2r0r+
          r
          2
          0
          =0

          上式有兩個(gè)解,大者為r遠(yuǎn),小者為r,即
          r=
          r0
          1+α
          =
          R+H
          1+α
          r遠(yuǎn)=
          r0
          1-α
          =
          R+H
          1-α

          故近、遠(yuǎn)火星點(diǎn)距火星表面的高度為h=r-R=
          H-αR
          1+α
          h遠(yuǎn)=r遠(yuǎn)-R=
          H+αR
          1-α
          ,
          (2)設(shè)橢圓軌道的半長(zhǎng)軸為a,則r+r遠(yuǎn)=2a
          即  a=
          r0
          1-α2

          飛船噴氣前繞圓軌道運(yùn)行的周期為  T0=
          r0
          v0

          設(shè)飛船噴氣后,繞橢圓軌道運(yùn)行的周期為T,由開普勒第三定律得  
          T
          T0
          =(
          a
          r0
          )3/2

          T=T0(
          a
          r0
          )3/2=
          r0
          v0
          (
          1
          1-α2
          )3/2

          T=
          2π(R+H)
          v0
          (
          1
          1-α2
          )3/2

          答:(1)試求飛船新軌道的近火星點(diǎn)的高度h
          H-αR
          1+α
          ,遠(yuǎn)火星點(diǎn)高度h遠(yuǎn)
          H+αR
          1-α

          (2)計(jì)算新軌道的運(yùn)行周期T為
          2π(R+H)
          v0
          (
          1
          1-α2
          )
          3/2
          點(diǎn)評(píng):本題是開普勒定律和機(jī)械能守恒定律的綜合運(yùn)用問(wèn)題,目前對(duì)于開普勒三定律,多數(shù)省份是不要求定量計(jì)算的,較難.
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          (1)試求飛船新軌道的近火星點(diǎn)的高度h,和遠(yuǎn)火星點(diǎn)高度h遠(yuǎn)
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