Question

質量為m、邊長為L的正方形線框，從有水平邊界的勻強磁場上方由靜止自由下落，線框電阻為R，勻強磁場的寬度為H（H＞L），磁感強度為B，方向水平．線框下落過程中ab邊與磁場界面平行、與磁場垂直．已知ab邊剛進入磁場和剛穿出磁場時都作減速運動，加速度大小均為a=g/4（g為當地的重力加速度）．不計空氣阻力，試求：
（1）ab邊剛進入磁場時速度v₁的大�。�
（2）cd邊剛進入磁場時線框速度v₂的大��；
（3）線框穿越整個磁場的過程中消耗的電能．

Answer 1

分析：（1）根據牛頓第二定律，結合切割產生的感應電動勢公式、閉合電路歐姆定律、安培力大小公式求出ab邊剛進入磁場時速度v₁的大�。�
（2）ab邊剛進入磁場和剛穿出磁場時，線框的速度是相同的，根據機械能守恒定律求出cd邊剛進入磁場時線框速度v₂的大�。�
（3）線框開始進入到開始穿出磁場，其動能沒變，減少的重力勢能全部轉化為電能，根據能量守恒定律求出線框穿越整個磁場的過程中消耗的電能．

解答：解：（1）設ab邊剛進入磁場時受到的安培力為F，根據牛頓第二定律，對線框有：F-mg=ma=

1

4

mg
線框中的感應電動勢為  E=BLv₁
線框中的感應電流為  I=

E

R

聯(lián)立以上三式解得  v1=

5mgR

4B2L2

（2）根據題意和以上的計算可知，ab邊剛進入磁場和剛穿出磁場時，線框的速度是相同的，都為v₁，從cd邊剛進入磁場到ab邊剛穿出磁場的過程，對線框應用機械能守恒定律，有：mg(H-L)=

1

2

mυ12-

1

2

mυ22
解得：υ2=

25m2g2R2 16B4l4 -2g(H-L)

（3）從線框開始進入到開始穿出磁場，其動能沒變，減少的重力勢能全部轉化為電能，再根據題意和以上的計算分析可知，線框進入磁場和穿出磁場的過程，其受力情況和運動情況完全相同，即線框中消耗的電能完全相同，
所以線框穿越整個磁場的過程中消耗的電能為：E_電=2mgH
答：（1）ab邊剛進入磁場時速度v₁的大小v1=

5mgR

4B2L2

．
（2）cd邊剛進入磁場時線框速度v₂的大小υ2=

25m2g2R2 16B4l4 -2g(H-L)

．
（3）線框穿越整個磁場的過程中消耗的電能為2mgH．

點評：本題考查了電磁感應與力學和能量的綜合，考查了閉合電路歐姆定律、切割產生的感應電動勢大小、安培力的大小公式等，難度中等．