Question

如圖所示，在xoy坐標(biāo)系內(nèi)存在周期性變化的電場(chǎng)和磁場(chǎng)，電場(chǎng)沿y軸正方向；磁場(chǎng)垂直紙面（以向里為正），電場(chǎng)和磁場(chǎng)的變化規(guī)律如圖所示．一帶負(fù)電粒子質(zhì)量m=3.2×10^-13kg，電荷量q=1.6×10^-10 C，在t=0時(shí)刻，以V_O=8m/s的速度沿x軸正向運(yùn)動(dòng)，不計(jì)粒子重力．求：

（1）粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的周期；
（2）t=20×10^-3s時(shí)粒子的位置坐標(biāo)；
（3）t=22×10^-3s時(shí)粒子的速度．

Answer 1

分析：帶電粒子在周期性交替出現(xiàn)的勻強(qiáng)電場(chǎng)與勻強(qiáng)磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)，粒子在磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，由洛倫茲力提供向心力，由牛頓第二定律和圓周運(yùn)動(dòng)的規(guī)律求解周期．
帶電粒子在周期性交替出現(xiàn)的勻強(qiáng)電場(chǎng)與勻強(qiáng)磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)，由題意可得：當(dāng)粒子在勻強(qiáng)電場(chǎng)中時(shí)是被直線加速，當(dāng)在勻強(qiáng)磁場(chǎng)中時(shí)恰好完成1個(gè)周期，再次進(jìn)入電場(chǎng)被直線加速后，又在磁場(chǎng)中被偏轉(zhuǎn)完成一個(gè)周期．

解答：解：（1）粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)時(shí)有：qvB=m

v2

R

所以有：R=

mv

qB

因?yàn)橹芷诠�式為�?span id="tpgxzi6" class="MathJye" mathtag="math" style="whiteSpace:nowrap;wordSpacing:normal;wordWrap:normal">T=

2πR

v

所以有：T=

2π

v

×

mv

qB

=

2πm

qB

代入數(shù)據(jù)得：T=

2πm

qB

=

2×3.14×3.2×10-13

1.6×10-10×3.14

s=4×10^-3s
（2）t=20×10^-3s時(shí)粒子在坐標(biāo)系內(nèi)做了兩個(gè)圓周運(yùn)動(dòng)和三段類(lèi)平拋運(yùn)動(dòng)
水平位移為：x=v0?3T=8×3×4×10-3m=9.6×10-2m
豎直位移為：y=

1

2

a(3T)2
其中加速度為：a=

Eq

m

所以有：y=

1

2

?

Eq

m

?(3T)2=

1

2

×

1×1.6×10-10

3.2×10-13

×(3×4×10-3)2m=3.6×10^-2m
故t=20×10^-3s時(shí)粒子的位置坐標(biāo)為（9.6×10^-2m，-3.6×10^-2m）
（3）20×10^-3s-22×10^-3s這段時(shí)間做圓周運(yùn)動(dòng)，時(shí)間是半個(gè)周期，故運(yùn)動(dòng)了半個(gè)圓周，所以t=22×10^-3s時(shí)粒子的速度大小與t=20×10^-3s時(shí)相同，方向與t=20×10^-3s時(shí)相反，所以只要計(jì)算t=20×10^-3s時(shí)粒子速度即可，設(shè)t=20×10^-3s時(shí)粒子速度與水平方向夾角為α．
根據(jù)平拋運(yùn)動(dòng)豎直方向做自由落體運(yùn)動(dòng)，則豎直方向速度為：
v_y=a?3T=

Eq

m

×3T=

1×1.6×10-10

3.2×10-13

×3×4×10-3 =6m/s
所以v=

v02+vy2

=

82+62

m/s=10m/s．
所以tanα=

vy

v0

=

6

8

=

3

4

，所以α=37°．
所以t=22×10^-3s時(shí)粒子的速度與x軸負(fù)向成37°斜向左上方．
答：（1）粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的周期為4×10^-3s；
（2）t=20×10^-3s時(shí)粒子的位置坐標(biāo)為（9.6×10^-2m，-3.6×10^-2m）；
（3）t=22×10^-3s時(shí)粒子的速度為10m/s，方向與x軸負(fù)向成37°斜向左上方．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了粒子做圓周運(yùn)動(dòng)的周期公式以及粒子做曲線運(yùn)動(dòng)時(shí)的分析方法：化曲為直，計(jì)算時(shí)要細(xì)心．