Question

某科學研究完成了下面的兩個實驗：
（1）當飛船停留在距X星球一定高度的P點時正對著X星球發(fā)射一個激光脈沖，經(jīng)過時間t₁后收到返回來的信號，此時觀察X星球的視角為θ，如圖所示．
（2）當飛船在X星球表面著陸后，把一個彈射器固定在星球的表面上，豎直向上彈射一個小球，經(jīng)測定小球從彈射到落回的時間為t₂．已知用上述彈射器在地球上做同樣的實驗時，小球在空中運動的時間為t，又已知地球表面的重力加速度為g，萬有引力常量G，光速為c，地球和X星球的自轉以及它們對物體的大氣阻力均可不計，試根據(jù)以上信息，求：
①X星球的半徑R；
②X星球的平均密度ρ
③X星球的第一宇宙速度V；
④在X星球發(fā)射的衛(wèi)星的最小周期T．

Answer 1

【答案】分析：①先計算P點到星球表面的最短距離為，根據(jù)直角三角形的知識可得，化簡即可解得X星球的半徑R．
②根據(jù)在X星球上以v初速度豎直上拋和在地球上以v初速度豎直上拋時的特點，可計算出該星球的表面重力加速度g．由在星球表面上的物體受到的重力等于萬有引力，解得該星球的質量，而該星球的體積為V=，根據(jù)密度的定義ρ=，代入數(shù)據(jù)計算即可．
③第一宇宙速度就是貼近星球表面飛行時的線速度，根據(jù)重力提供向心力，得，代入數(shù)據(jù)化簡即可解得v．
④當以第一宇宙速度v運行，衛(wèi)星有最小周期T，根據(jù)公式化簡即可．
解答：解：①飛船停留在距X星球一定高度的P點時正對著X星球發(fā)射一個激光脈沖，經(jīng)過時間t₁后收到返回來的信號，則P點到星球表面的最短距離為：．
根據(jù)幾何圖形，由直角三角形的知識可得
即：=R
解得：
②根據(jù)豎直上拋的特點：
在X星球上以v初速度豎直上拋時，
在地球上以v初速度豎直上拋時，
∴，
又由在星球表面上的物體受到的重力等于萬有引力
所以，
而該星球的體積為V=
故ρ===
③第一宇宙速度就是貼近星球表面飛行時的線速度，此時重力等于萬有引力，
根據(jù)萬有引力提供向心力
∴
把R和的值代入得：

④當以第一宇宙速度v運行，衛(wèi)星有最小周期T

答：①X星球的半徑R為；
②X星球的平均密度ρ為
③X星球的第一宇宙速度V為；
④在X星球發(fā)射的衛(wèi)星的最小周期T為．
點評：重力加速度g是天體運動研究和天體表面宏觀物體運動研究聯(lián)系的物理量．本題要求學生掌握兩種等式：一是物體所受重力等于其吸引力；二是物體做勻速圓周運動其向心力由萬有引力提供．