Question

如圖所示，一個(gè)帶有1/4圓弧的粗糙滑板A，總質(zhì)量為m_A=3kg，其圓弧部分與水平部分相切于P，水平部分PQ長(zhǎng)為L(zhǎng)=3.75m．開始時(shí)A靜止在光滑水平面上，有一質(zhì)量為m_B=2kg的小木塊B從滑板A的右端以水平初速度v₀=5m/s滑上A，小木塊B與滑板A之間的動(dòng)摩擦因數(shù)為μ=0.15，小木塊B滑到滑板A的左端并沿著圓弧部分上滑一段弧長(zhǎng)后返回最終停止在滑板A上．
（1）求A、B相對(duì)靜止時(shí)的速度大小；
（2）若B最終停在A的水平部分上的R點(diǎn)，P、R相距1m，求系統(tǒng)在該運(yùn)動(dòng)過(guò)程中產(chǎn)生的內(nèi)能；
（3）若圓弧部分光滑，且除v₀不確定外其他條件不變，討論小木塊B在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，是否有可能在某段時(shí)間里相對(duì)地面向右運(yùn)動(dòng)？如不可能，說(shuō)明理由；如可能，試求出B既能向右滑動(dòng)、又不滑離木板A的v₀取值范圍．（取g=10m/s²，結(jié)果可以保留根號(hào)）

Answer 1

（1）小木塊B從開始運(yùn)動(dòng)直到A、B相對(duì)靜止的過(guò)程中，系統(tǒng)水平方向上動(dòng)量守恒，有
m_Bv₀=（m_B+m_A）v ①
解得v=

2

5

v0=2m/s②
（2）由能量關(guān)系得到Q=

1

2

mB

v

20

-

1

2

(mB+mA)v2=15J ③
（3）設(shè)小木塊B下滑到P點(diǎn)時(shí)速度為v_B，同時(shí)A的速度為v_A，由動(dòng)量守恒和能量關(guān)系可以得到
m_Bv₀=m_Bv_B+m_Av_A ④

1

2

mBv02=

1

2

mBvB2+

1

2

mAvA2+μmBgL⑤
由⑥⑦兩式可以得到5v_B²-4v₀v_B-v₀²+0.9gL=0，得 vB=

4v0- 36v02-18gL

10

＜0，
化簡(jiǎn)后為v₀²＞0.9gL ⑥
若要求B最終不滑離A，由能量關(guān)系必有 μmBg?2L≥

1

2

mBv02-

1

2

(mB+mA)v2 ⑦
化簡(jiǎn)得v₀²≤gL⑧
故B既能對(duì)地向右滑動(dòng)，又不滑離A的條件為 0.9gL＜v₀²≤gL ⑨
即

3

2

15

m/s＜v0≤

37.5

m/s，解得，5.8m/s＜v₀≤6.1m/s⑩
答：（1）A、B相對(duì)靜止時(shí)的速度大小是2m/s；
（2）系統(tǒng)在該運(yùn)動(dòng)過(guò)程中產(chǎn)生的內(nèi)能是15J．
（3）B既能對(duì)地向右滑動(dòng)，又不滑離A的條件為5.8m/s＜v₀≤6.1m/s．