Question

如圖所示，AB是固定于豎直平面內(nèi)的

1

4

圓弧形光滑軌道，末端B處的切線方向水平．一物體（可視為質(zhì)點(diǎn)）P從圓弧最高點(diǎn)A處由靜止釋放，滑到B端飛出，落到地面上的C點(diǎn)．測(cè)得C點(diǎn)與B點(diǎn)的水平距離OC=L，B點(diǎn)距地面的高度OB=h．現(xiàn)在軌道下方緊貼B端安裝一個(gè)水平傳送帶，傳送帶的右端與B點(diǎn)的距離為

L

2

，當(dāng)傳送帶靜止時(shí)，讓物體P從A處由靜止釋放，物體P沿軌道滑過(guò)B點(diǎn)后又在傳送帶上滑行并從傳送帶的右端水平飛出，仍然落到地面上的C點(diǎn)．求：
（1）物體P與傳送帶之間的摩擦因數(shù)μ．
（2）若在A處給物體P一個(gè)豎直向下的初速度，物體P從傳送帶的右端水平飛出后，落到地面上的D點(diǎn)，求OD的大小．
（3）若驅(qū)動(dòng)輪轉(zhuǎn)動(dòng)、帶動(dòng)傳送帶以速度v勻速運(yùn)動(dòng)，再把物體P從A處由靜止釋放，物體P落到地面上，設(shè)著地點(diǎn)與O點(diǎn)的距離為x，求出x與傳送帶上表面速度v的函數(shù)關(guān)系．

Answer 1

分析：（1）先研究無(wú)傳送帶的情況：物體從B運(yùn)動(dòng)到C，做平拋運(yùn)動(dòng)，已知h和L，由平拋運(yùn)動(dòng)的規(guī)律求得物體在B點(diǎn)的速度v_B，再研究有傳送帶的情況：由平拋運(yùn)動(dòng)的規(guī)律求出物體離開傳送帶時(shí)的速度v₁，根據(jù)動(dòng)能定理求得摩擦因數(shù)μ．
（2）根據(jù)動(dòng)能定理研究物體離開傳送帶時(shí)的速度，由平拋運(yùn)動(dòng)的知識(shí)求得OD．
（3）通過(guò)物體P滑到底端的速度與傳送帶的速度進(jìn)行比較，判斷物體P在傳送帶上的運(yùn)動(dòng)情況，得出物體離開傳送帶的速度，根據(jù)平拋運(yùn)動(dòng)的知識(shí)求出水平位移．

解答：解：（1）無(wú)傳送帶時(shí)，物體從B運(yùn)動(dòng)到C，做平拋運(yùn)動(dòng)，設(shè)物體在B點(diǎn)的速度為v_B，
由L=v_Bt；
h=

1

2

gt²，
解得：v_B=L

g 2h

當(dāng)有傳送帶時(shí)，設(shè)物體離開傳送帶時(shí)的速度為v₁，由平拋規(guī)律：

L

2

=v1t
h=

1

2

gt2
解得：v1=L

g 8h

；
由此可知物體滑上傳送帶時(shí)的初速度為v_B，末速度為v₁，物體的位移為

L

2

，此過(guò)程中只有傳送帶的摩擦力對(duì)物體做功，故根據(jù)動(dòng)能定理有：
-μmg

L

2

=

1

2

m

v

2 1

-

1

2

m

v

2 B

代入v_B和v₁可解得：
μ=

3L

8h

；
（2）設(shè)物體離開傳送帶時(shí)的速度為v₂，物體從A滑到離開傳送帶的過(guò)程中，只有重力和傳送帶的摩擦力對(duì)物體做功，由動(dòng)能定理有：
mgR-μmg

L

2

=

1

2

m

v

2 2

-

1

2

m

v

2 0

又物體從A滑至B的過(guò)程中有mgR=

1

2

m

v

2 B

所以有：

1

2

m

v

2 B

-

3L

8h

×mg

L

2

=

1

2

m

v

2 2

-

1

2

m

v

2 0

又vB=L

g 2h

可解得：v₂=

gL2 8h + v 2 0

物體離開傳送帶后做平拋運(yùn)動(dòng)，由題意根據(jù)平拋可知
OD=

L

2

+v₂t=

L

2

+

gL2 8h + v 2 0

2h g

=

L

2

+

L2 4 + 2h v 2 0 g

；
（3）物體由靜止從P點(diǎn)開始下滑，到達(dá)B點(diǎn)的速度vB=L

g 2h

，當(dāng)物體滑上傳送帶全程加速時(shí)，物體滑離傳送帶時(shí)的速度v₂，根據(jù)動(dòng)能定理有：
加速時(shí)摩擦力做正功，故有：μmg

L

2

=

1

2

m

v

2 2

-

1

2

m

v

2 B

代入數(shù)值可得：v2=

gL2 2h + 3gL2 8h

所以當(dāng)傳送帶的速度v＞

gL2 2h + 3gL2 8h

，物體離開傳送帶的速度v＞

gL2 2h + 3gL2 8h

，由題意根據(jù)平拋運(yùn)動(dòng)知識(shí)可知：x=

L

2

+v2t=

L

2

+

L2+ 3 4 L2

=

L

2

(1+

7

)
同理有當(dāng)物體由靜止從P點(diǎn)開始下滑，達(dá)到B點(diǎn)的速度vB=L

g 2h

，當(dāng)物體滑上傳送帶并在全程在摩擦力作用下做減速運(yùn)動(dòng)時(shí)，物體滑離傳送帶的時(shí)的速度為v₁，根據(jù)動(dòng)能定理有：
減速時(shí)摩擦力做負(fù)功，故有：-μmg

L

2

=

1

2

m

v

2 1

-

1

2

m

v

2 B

代入相應(yīng)數(shù)值可解得：v₁=

gL2 8h

所以當(dāng)傳送帶速度小于v＜

gL2 8h

時(shí)，物體滑離傳送帶時(shí)的速度v1=

gL2 8h

所以可知；x=

L

2

+v1t=

L

2

+

gL2 8h

2h g

=L
當(dāng)傳送帶的速度滿足：v₁≤v≤v₂時(shí)，物體在摩擦力作用下離開傳送帶時(shí)的速度大小都為v，
故此時(shí)x=

L

2

+v

2h g

答：（1）物體P與傳送帶之間的摩擦因數(shù)μ=

3L

8h

；
（2）若在A處給物體P一個(gè)豎直向下的初速度，物體P從傳送帶的右端水平飛出后，落到地面上的D點(diǎn)，求OD的大小為

L

2

+

L2 4 + 2h v 2 0 g

．
（3）若驅(qū)動(dòng)輪轉(zhuǎn)動(dòng)、帶動(dòng)傳送帶以速度v勻速運(yùn)動(dòng)，再把物體P從A處由靜止釋放，物體P落到地面上，設(shè)著地點(diǎn)與O點(diǎn)的距離為x，求出x與傳送帶上表面速度v的函數(shù)關(guān)系為：
x=L              v＜

gL2 8h

     
x=

L

2

+v

2h g

     

gL2 8h

≤v≤

7gL2 8h

x=

L

2

(1+

7

)      v＞

7gL2 8h

點(diǎn)評(píng)：本題是機(jī)械能守恒、平拋運(yùn)動(dòng)，動(dòng)能定理的綜合應(yīng)用，要具有分析物體運(yùn)動(dòng)過(guò)程的能力，能分情況全面分析物體的運(yùn)動(dòng)情況，要抓住平拋運(yùn)動(dòng)的時(shí)間由高度決定這一知識(shí)點(diǎn)．本題較難，易犯考慮不全面的錯(cuò)誤．