Question

2012年我國宣布北斗導航系統(tǒng)正式商業(yè)運行．北斗導航系統(tǒng)又被稱為“雙星定位系統(tǒng)”，具有導航、定位等功能．北斗導航系統(tǒng)中兩顆工作衛(wèi)星即衛(wèi)星1和衛(wèi)星2在同一軌道上繞地心做勻速圓周運動，軌道半徑為r，如圖所示，某時刻衛(wèi)星1和衛(wèi)星2分別位于軌道上的A、B兩位置（衛(wèi)星與地球連線的夾角為60°）．若兩衛(wèi)星均按順時針方向運行，地球表面處的重力加速度為g，地球半徑為R，不計衛(wèi)星間的相互作用力．則下列說法正確的是（　　）

• A、地球對衛(wèi)星1和衛(wèi)星2的萬有引力大小相等
• B、衛(wèi)星1由位置A運動到位置B的過程中萬有引力做正功
• C、衛(wèi)星l由位置A運動到位置B所需的時間為

  πr

  3R

  r g

• D、若衛(wèi)星l向后噴氣，則一定能追上衛(wèi)星2

Answer 1

分析：無論用萬有引力表達式，還是用萬有引力提供向心力的各種形式的表達式，都需知道衛(wèi)星的質量，才能求萬有引力．
萬有引力提供向心力，始終與速度方向垂直．
由萬有引力提供向心力的周期表達式，可得周期，進而可得衛(wèi)星l由位置A運動到位置B所需的時間．
若衛(wèi)星1向后噴氣，則其速度會增大，衛(wèi)星1將做離心運動．

解答：解：
A、無論用萬有引力表達式，還是用萬有引力提供向心力的各種形式的表達式，都需知道衛(wèi)星的質量，才能求萬有引力，衛(wèi)星1、2的質量未知，所以地球對二者的萬有引力大小不確定，故A錯誤；
B、衛(wèi)星做勻速圓周運動，萬有引力提供向心力，始終與速度方向垂直，所以萬有引力不做功，故B錯誤；
C、由萬有引力提供向心力的周期表達式，可得：
G

Mm

r2

=mr

4π2

T2

解得：
T=

4π2r3 GM

根據地球表面處萬有引力等于重力得：
G

Mm

R2

=mg
得：
GM=gR²
帶入周期表達式可得：
T=

2πr

R

r g

衛(wèi)星1從位置A運動到位置B所需時間為周期的六分之一，故從位置A運動到位置B所需時間為：
t=

1

6

T=

1

6

×

2πr

R

r g

=

πr

3R

r g

故C正確；
D、衛(wèi)星1 向后噴氣加速將要離心運動，故不能追上衛(wèi)星2，故D錯誤．
故選：C

點評：關于衛(wèi)星運動，要熟練應用萬有引力提供向心力的各種表達形式；熟知衛(wèi)星的變軌．