Question

（18分）如圖所示，定滑輪B、C與動滑輪D組成一滑輪組，各滑輪與轉軸間的摩擦、滑輪的質量均不計．在動滑輪D上，懸掛有砝碼托盤A，跨過滑輪組的不可伸長的輕線的兩端各掛有砝碼2和3．一根用輕線（圖中穿過彈簧的那條豎直線）拴住的壓縮輕彈簧豎直放置在托盤底上，彈簧的下端與托盤底固連，上端放有砝碼1（兩者未粘連）．已知三個砝碼和砝碼托盤的質量都是m，彈簧的勁度系數(shù)為k，壓縮量為l₀，整個系統(tǒng)處在靜止狀態(tài)．現(xiàn)突然燒斷拴住彈簧的輕線，彈簧便伸長，并推動砝碼1向上運動，直到砝碼1與彈簧分離．假設砝碼1在以后的運動過程中不會與托盤的頂部相碰．求砝碼1從與彈簧分離至再次接觸經(jīng)歷的時間．

Answer 1

設從燒斷線到砝碼1與彈簧分離經(jīng)歷的時間為Δt，在這段時間內，各砝碼和砝碼托盤的受力情況如圖1所示：圖中，F(xiàn)表示Δt時間內任意時刻彈簧的彈力，T表示該時刻跨過滑輪組的輕繩中的張力，mg為重力，T₀為懸掛托盤的繩的拉力．因D的質量忽略不計，有

(1)

在時間Δt內任一時刻，砝碼1向上運動，托盤向下運動，砝碼2、3則向上升起，但砝碼2、3與托盤速度的大小是相同的．設在砝碼1與彈簧分離的時刻，砝碼1的速度大小為v₁，砝碼2、3與托盤速度的大小都是v₂，由動量定理，有

(2)

(3)

(4)

(5)

式中I_F、I_mg、I_T、分別代表力F、mg、T、T₀在Δt時間內沖量的大小。注意到式(1)，有

(6)

由(2)、(3)、(4)、(5)、(6)各式得

(7)

在彈簧伸長過程中，彈簧的上端與砝碼1一起向上運動，下端與托盤一起向下運動．以Δl₁表示在Δt時間內彈簧上端向上運動的距離，Δl₂表示其下端向下運動的距離．由于在彈簧伸長過程中任意時刻，托盤的速度都為砝碼1的速度的1/3，故有

(8)

另有

(9)

在彈簧伸長過程中，機械能守恒，彈簧彈性勢能的減少等于系統(tǒng)動能和重力勢能的增加，即有

(10)

由(7)、(8)、(9)、(10) 式得

(11)

砝碼1與彈簧分開后，砝碼作上拋運動，上升到最大高度經(jīng)歷時間為t₁，有

(12)

砝碼2、3和托盤的受力情況如圖2所示，以表示加速度的大小，有

(13)

(14)

(15)

　（16）

由 (14)、(15) 和(16)式得

　 　 　 　 (17)

托盤的加速度向上，初速度v₂向下，設經(jīng)歷時間t₂，托盤速度變?yōu)榱�，�?/p>

(18)

由 (7)、(12)、(17) 和(18)式，得

(19)

即砝碼1自與彈簧分離到速度為零經(jīng)歷的時間與托盤自分離到速度為零經(jīng)歷的時間相等．由對稱性可知，當砝碼回到分離位置時，托盤亦回到分離位置，即再經(jīng)歷t₁，砝碼與彈簧相遇．題中要求的時間

(20)

由 (11)、(12)、(20) 式得

(21)