Question

對鈾235的進一步研究在核能的開發(fā)和利用中具有重要意義．如圖所示，質量為m、電荷量為q的鈾235離子，從容器A下方的小孔S₁不斷飄入加速電場，其初速度可視為零，然后經過小孔S₂垂直于磁場方向進入磁感應強度為B的勻強磁場中，做半徑為R的勻速圓周運動．離子行進半個圓周后離開磁場并被收集，離開磁場時離子束的等效電流為I．不考慮離子重力及離子間的相互作用．
（1）求加速電場的電壓U；
（2）求出在離子被收集的過程中任意時間t內收集到離子的質量M；
（3）實際上加速電壓的大小會在U±△U范圍內微小變化．若容器A中有電荷量相同的鈾235和鈾238兩種離子，如前述情況它們經電場加速后進入磁場中會發(fā)生分離，為使這兩種離子在磁場中運動的軌跡不發(fā)生交疊，

△U

U

應小于多少？（結果用百分數(shù)表示，保留兩位有效數(shù)字）

Answer 1

分析：（1）設離子經電場加速度時的速度為v，由動能定理及向心力公式即可求解；
（2）設在t時間內收集到的離子個數(shù)為N，總電荷量為Q，根據(jù)Q=It、M=Nm，即可求解M；
（3）根據(jù)向心力公式求出半徑R的表達式，進而表示出鈾235離子在磁場中最大半徑和鈾238離子在磁場中最小半徑，要使兩種離子在磁場中運動的軌跡不發(fā)生交疊，則鈾235離子在磁場中最大半徑小于鈾238離子在磁場中最小半徑，進而即可求解．

解答：解：（1）設離子經電場加速度時的速度為v，由動能定理得：
qU=

1

2

mv2…①
粒子在磁場中做勻速圓周運動，洛倫茲力提供向心力，即：Bqv=m

v2

R

…②
由①②解得：U=

qB2R2

2m

…③
（2）設在t時間內收集到的離子個數(shù)為N，總電荷量為Q，則Q=It…④
N=

Q

q

…⑤
M=Nm…⑥
由④⑤⑥式解得：M=

mIt

q

（3）由①②式得：R=

1

B

2mU q

設m′為鈾238離子的質量，由于電壓在U±△U范圍內微小變化，鈾235離子在磁場中最大半徑為：Rmax=

1

B

2m(U+△U) q

鈾238離子在磁場中最小半徑為：Rmin=

1

B

2m′(U-△U) q

這兩種離子在磁場中運動的軌跡不發(fā)生交疊的條件為：R_max＜R_min
即：

1

B

2m(U+△U) q

＜

1

B

2m′(U-△U) q

則有：m（U+△U）＜m′（U-△U）
所以：

△U

U

＜

m′-m

m′+m

其中鈾235離子質量m=235u（u為原子質量單位），其中鈾238離子質量m′=238u
故

△U

U

＜

238u-235u

238u+235u

解得：

△U

U

＜0.63%
答：（1）加速電場的電壓為

qB2R2

2m

；
（2）在離子被收集的過程中任意時間t內收集到離子的質量為

mIt

q

；
（3）為使這兩種離子在磁場中運動的軌跡不發(fā)生交疊，

△U

U

應小于0.63%．

點評：本題主要考查了動能定理及向心力公式的直接應用，要求同學們知道要使兩種離子在磁場中運動的軌跡不發(fā)生交疊，則鈾235離子在磁場中最大半徑小于鈾238離子在磁場中最小半徑，難度適中．