Question

有一個(gè)斜面，其底邊固定且水平，斜面傾角在0～90°內(nèi)變化，一質(zhì)量為1kg的物體以初速度v₀自斜面底端沿斜面上滑，滑到最高點(diǎn)時(shí)的位移隨θ角變化的規(guī)律如圖所示，則物體上滑的最小位移x和此過程中摩擦力所做的功W分別為（　�。�

• A、x=5m
• B、x=5

  3

  m
• C、W=25J
• D、W=25

  3

  3

  J

Answer 1

分析：本題的關(guān)鍵是根據(jù)動(dòng)能定理列出表達(dá)式，將圖象上兩坐標(biāo)點(diǎn)代入表達(dá)式即可求出動(dòng)摩擦因數(shù)μ和

v

2 0

的值，然后根據(jù)數(shù)學(xué)三角代換將表達(dá)式整理為一正弦函數(shù)形式，即可討論求解．

解答：解：對物體受力分析如圖所示，由動(dòng)能定理有-mgxsinθ-μmgxcosθ=0-

1

2

m

v

2 0

，及gxsinθ+μgxcosθ=

1

2

v

2 0

，
由圖象可讀出θ=0°時(shí)x=10

3

；θ=90°時(shí)x=10，代入上式可得μ=

3

3

，

v

2 0

=200
再將gxsinθ+μgxcosθ=

1

2

v

2 0

變形為gx（sinθ+μcosθ）=

1

2

v

2 0

，又整理為gx

1 +μ 2

sin（θ+β）=

1

2

v

2 0

，其中tanβ=μ=

3

3

，即β=30°
可見當(dāng)sin（θ+β）=1時(shí)x最小，θ=90°-β=60°時(shí)位移最小，最小位移為x=

1 2 v 2 0

g 1 +μ 2

，代入數(shù)據(jù)可得x=5

3

m，所以B正確A錯(cuò)誤
物體克服摩擦力做的功為

W

克

=μmgxcosθ=

3

3

=

3

3

×1×10×5

3

×cos60°=25J，所以C正確D錯(cuò)誤．
故選BC．

點(diǎn)評：記住數(shù)學(xué)三角代換公式Asingθ+Bcosθ=

A 2   +B 2

sin（θ+β），其中tanβ=

B

A

，在求物理極值問題中的應(yīng)用．