Question

（2011?宿遷三模）如圖所示為一種獲得高能粒子的裝置．環(huán)形區(qū)域內(nèi)存在垂直紙面向外、大小可調(diào)的勻強(qiáng)磁場(chǎng)．M、N為兩塊中心開(kāi)有小孔的距離很近的極板，板間距離為d，每當(dāng)帶電粒子經(jīng)過(guò)M、N板時(shí)，都會(huì)被加速，加速電壓均為U；每當(dāng)粒子飛離電場(chǎng)后，M、N板間的電勢(shì)差立即變?yōu)榱悖�粒子在電�?chǎng)中一次次被加速，動(dòng)能不斷增大，而繞行半徑R不變．當(dāng)t=0時(shí)，質(zhì)量為m、電荷量為+q的粒子靜止在M板小孔處．
（1）求粒子繞行n圈回到M板時(shí)的速度大小v_n；
（2）為使粒子始終保持在圓軌道上運(yùn)動(dòng)，磁場(chǎng)必須周期性遞增，求粒子繞行第n圈時(shí)磁感應(yīng)強(qiáng)度B_n的大��；
（3）求粒子繞行n圈所需總時(shí)間t_總．

Answer 1

分析：帶電粒子以一定的速度進(jìn)入勻強(qiáng)磁場(chǎng)，在洛倫茲力的作用下做勻速圓周運(yùn)動(dòng)．當(dāng)磁場(chǎng)一定時(shí)，粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的周期僅與粒子的比荷有關(guān)，而在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間還與偏轉(zhuǎn)角有關(guān)．當(dāng)入射速度越大時(shí)，磁場(chǎng)及粒子的比荷不變時(shí)，運(yùn)動(dòng)軌道的半徑越大；而當(dāng)軌跡半徑及粒子的比荷不變時(shí)，則磁場(chǎng)必須變化．

解答：解：（1）粒子繞行一圈電場(chǎng)做功一次，由動(dòng)能定理：nqU=

1

2

m

v

2 n

即第n次回到M板時(shí)的速度為：vn=

2nqU m

（2）繞行第n圈的過(guò)程中，由牛頓第二定律：qBnvn=m

v 2 n

R

得Bn=

1

R

2nmU q

（3）粒子在每一圈的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，包括在MN板間加速過(guò)程和在磁場(chǎng)中圓周運(yùn)動(dòng)過(guò)程．
在MN板間經(jīng)歷n次加速過(guò)程中，因?yàn)殡妶?chǎng)力大小相同，故有：nd=

1

2

?

qU

md

?

t

2 加

即加速n次的總時(shí)間 t加=d

2nm qU

而粒子在做半徑為R的勻速圓周運(yùn)動(dòng)，每一圈所用時(shí)間為

2πR-d

v

，由于每一圈速度不同，所以每一圈所需時(shí)間也不同．
第1圈：qU=

1

2

m

v

2 1

v1=

2qU m

t1=

2πR-d

v1

=(2πR-d)

m 2qU

第2圈：2qU=

1

2

m

v

2 2

v2=

2?2qU m

t2=

2πR-d

v2

=(2πR-d)

m 2×2qU

…
第n圈：nqU=

1

2

m

v

2 n

vn=

n?2qU m

tn=

2πR-d

vn

=(2πR-d)

m n×2qU

故繞行n圈過(guò)程中在磁場(chǎng)里運(yùn)動(dòng)的時(shí)間t=(2πR-d)

m 2qU

(1+

1

2

+

1

3

+…+

1

n

)
綜上：粒子繞行n圈所需總時(shí)間
t_總=d

2nm qU

+(2πR-d)

m 2qU

(1+

1

2

+

1

3

+…+

1

n

)．

點(diǎn)評(píng)：帶電粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的題目解題步驟為：定圓心、畫(huà)軌跡、求半徑．同時(shí)體現(xiàn)控制變量的方法，在粒子的比荷、半徑一定的情況下，粒子的速度與磁場(chǎng)成正比．