Question

如圖所示，在y軸上A點(diǎn)沿平行x軸正方向以v₀發(fā)射一個(gè)帶正電的粒子，在該方向上距A點(diǎn)3R處的B點(diǎn)為圓心存在一個(gè)半徑為R的圓形有界的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁場(chǎng)方向垂直紙面向外，當(dāng)粒子通過(guò)磁場(chǎng)后打到x軸上的C點(diǎn)，且速度方向與x軸正向成60°角斜向下，已知帶電粒子的電量為q，質(zhì)量為m，粒子的重力忽略不計(jì)，O點(diǎn)到A點(diǎn)的距離為2

3

R．求：
（1）該磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度B的大小
（2）若撤掉磁場(chǎng)，在該平面內(nèi)加上一個(gè)與y軸平行的有界勻強(qiáng)電場(chǎng)，粒子仍按原方向入射，當(dāng)粒子進(jìn)入電場(chǎng)后一直在電場(chǎng)力的作用下打到x軸上的C點(diǎn)且速度方向仍與x軸正向成60°角斜向下，則該電場(chǎng)的左邊界與y軸的距離為多少？
（3）若撤掉電場(chǎng)，在該平面內(nèi)加上一個(gè)與（1）問(wèn)磁感應(yīng)強(qiáng)度大小相同的矩形有界勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁場(chǎng)方向垂直紙面向里，粒子仍按原方向入射，通過(guò)該磁場(chǎng)后打到x軸上的C點(diǎn)且速度方向仍與x軸正向成60°角斜向下，則所加矩形磁場(chǎng)的最小面積為多少？

Answer 1

（1）帶電粒子離開(kāi)磁場(chǎng)時(shí)，速度偏轉(zhuǎn)60°角，軌跡如圖1．
由幾何關(guān)系可得：r=

3

R
根據(jù)：Bqv0=

m v 20

r

求得：B=

3 mv0

3qR

（2）粒子做類平拋運(yùn)動(dòng)以60°角打到C點(diǎn)，其速度方向的反向延長(zhǎng)線過(guò)B點(diǎn)，由平拋知識(shí)可得速度的方向延長(zhǎng)線平分水平位移．如圖2所示．
由幾何知識(shí)求出其水平位移的一半．
BD=2

3

Rtan30°=2R
所以電場(chǎng)的左邊的邊界到B的距離是2R，因此電場(chǎng)的左邊到y(tǒng)軸的距離為R．
（3）由左手定則可知，粒子進(jìn)入磁場(chǎng)后向上偏轉(zhuǎn)，并最終沿BC的方向離開(kāi)磁場(chǎng)，由于磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度與（1）相同，所以粒子運(yùn)動(dòng)的半徑不變，以入射方向和出射方向?yàn)榍芯�畫(huà)圓，則為粒子的運(yùn)動(dòng)軌跡，如圖所示．切點(diǎn)E、F分別為入射點(diǎn)和出射得，即為磁場(chǎng)的兩個(gè)邊界點(diǎn)，則矩形的最小面積應(yīng)滿足有三條邊與圓軌跡相切，第四條邊過(guò)EF 如圖．
由幾何知識(shí)可得，矩形邊長(zhǎng)為a：a=2r=2

3

R
矩形短邊為b：b=r+rcos30°=

2 3 +3

2

R
所以矩形的最小面積為：Smin=a?b=(6+3

3

)R2
答：（1）該磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度B=

3 mv0

3qR

；
（2）若在該平面內(nèi)加上一個(gè)與y軸平行的有界勻強(qiáng)電場(chǎng)該電場(chǎng)的左邊界與y軸的距離為2R；
（3）若加上一個(gè)與（1）問(wèn)磁感應(yīng)強(qiáng)度大小相同的矩形有界勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁場(chǎng)方向垂直紙面向里，則所加矩形磁場(chǎng)的最小面積為Smin=a?b=(6+3

3

)R2．