Question

如圖（a）所示，左為某同學(xué)設(shè)想的粒子速度選擇裝置，由水平轉(zhuǎn)軸及兩個(gè)薄盤N₁、N₂構(gòu)成，兩盤面平行且與轉(zhuǎn)軸垂直，相距為L，兩盤面間存在豎直向上的勻強(qiáng)電場(chǎng)，盤上各開一狹縫，兩狹縫夾角θ可調(diào)（如圖（b））；右為長為d的水平桌面，水平桌面的右端有一質(zhì)量為m小球B，用長也為d的不可伸長的細(xì)線懸掛，B對(duì)水平桌面壓力剛好為零，今有電荷量為q，質(zhì)量為2m的另一帶電小球A沿水平方向射入N₁，勻速通過兩盤間后通過N₂，并沿水平桌面運(yùn)動(dòng)到右端與小球B發(fā)生彈性碰撞，已知小球A與水平桌面間動(dòng)摩擦因數(shù)為μ．
（1）求小球A帶何種電及兩盤面間的電場(chǎng)強(qiáng)度E的大��；
（2）若兩狹縫夾角為θ₀，盤勻速轉(zhuǎn)動(dòng)，轉(zhuǎn)動(dòng)方向如圖（b）．要使小球A與小球B碰后，懸掛的細(xì)線始終有拉力，試求轉(zhuǎn)動(dòng)角速度ω．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)小球A勻速兩盤過程中受到的電場(chǎng)力和重力平衡求解．
（2）對(duì)小球A在水平桌面運(yùn)動(dòng)過程由動(dòng)能定理列出等式．小球A與小球B發(fā)生碰撞過程動(dòng)量守恒和能量守恒列出等式．
小球B從最低點(diǎn)到最高點(diǎn)過程由機(jī)械能守恒列出等式，聯(lián)立多個(gè)等式結(jié)合圓周運(yùn)動(dòng)知識(shí)求解．

解答：解：（1）小球A勻速兩盤過程中受到的電場(chǎng)力和重力平衡，可見所帶電荷為正電荷
即2mg=qE①
解得：E=

2mg

q

②
（2）設(shè)小球A通過N₂時(shí)的速度為v，與小球B發(fā)生碰撞前瞬間的速度為v_A，對(duì)小球A在水平桌面運(yùn)動(dòng)過程由動(dòng)能定理得-μ×2mgd=

1

2

×2m

v

2 A

-

1

2

×2mv2  ③
滿足條件  v_A＞0  ④
小球A與小球B發(fā)生碰撞過程動(dòng)量守恒和能量守恒得2mvA=2m

v

′ A

+mvB⑤

1

2

×2m

v

2 A

=

1

2

×2m

v

′2 A

+

1

2

m

v

2 B

⑥
解得

v

′ A

=

1

3

vAvB=

4

3

vA
要使小球A與小球B碰后，懸掛的細(xì)線始終有拉力，則小球B運(yùn)動(dòng)臨界有兩種情況．
第一種情況：小球B碰后最大高度為d，對(duì)小球B由機(jī)械能守恒有

1

2

m

v

2 B

=mgd⑦
第二種情況：小球B碰后恰能做完整的圓周運(yùn)動(dòng)，小球B在最高點(diǎn)有mg=m

v ′2 B

d

⑧
小球B從最低點(diǎn)到最高點(diǎn)過程由機(jī)械能守恒有

1

2

m

v

2 B

=mg?2d+

1

2

m

v

′2 B

⑨
設(shè)小球A臨界速度分別為v₁、v₂和v₃，由③④⑤⑥⑦⑧式，得v1=

2μgd

⑩
v2=

(18+32μ)gd

4

（11）
v3=

(45+32μ)gd

4

（12）
若小球A通過轉(zhuǎn)盤，由題設(shè)可知  

L

v

=

2nπ+θ0

ω

n=0，1，2，3…（13）
聯(lián)立⑨⑩（11），得對(duì)應(yīng)轉(zhuǎn)盤的角速度分別為ω1=

2nπ+θ0

L

2μgd

（14）
ω2=

2nπ+θ0

4L

(18+32μ)gd

（15）
ω3=

2nπ+θ0

4L

(45+32μ)gd

（16）
要使懸掛的細(xì)線始終有拉力，
需滿足條件

2nπ+θ0

L

2μgd

＜ω＜

2nπ+θ0

4L

(18+32μ)gd

n=0，1，2，3
或ω＞

2nπ+θ0

4L

(45+32μ)gd

n=0，1，2，3
答：（1）小球A帶何種電及兩盤面間的電場(chǎng)強(qiáng)度E的大小是

2mg

q

；
（2）要使小球A與小球B碰后，懸掛的細(xì)線始終有拉力，需滿足條件

2nπ+θ0

L

2μgd

＜ω＜

2nπ+θ0

4L

(18+32μ)gd

n=0，1，2，3
或ω＞

2nπ+θ0

4L

(45+32μ)gd

n=0，1，2，3．

點(diǎn)評(píng)：該題考查了動(dòng)能定理、動(dòng)量守恒和能量守恒多個(gè)知識(shí)點(diǎn)，難度較大，注意分析物體的運(yùn)動(dòng)過程和受力情況．