Question

如圖所示，在真空區(qū)域內(nèi)，有寬度為L(zhǎng)的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁感應(yīng)強(qiáng)度為B，磁場(chǎng)方向垂直紙面向里，MN、PQ是磁場(chǎng)的邊界．質(zhì)量為m，帶電量為-q的粒子，經(jīng)電壓U₁加速后沿著與MN夾角為θ（0＜θ＜90°）的方向垂直磁感線射入勻強(qiáng)磁場(chǎng)B中，粒子剛好沒(méi)能從PQ邊界射出磁場(chǎng)，粒子加速前速度認(rèn)為是零，不計(jì)重力的影響．
（1）求加速電壓U₁；
（2）為使粒子經(jīng)電壓U₁加速射入磁場(chǎng)后沿直線運(yùn)動(dòng)，直至射出PQ邊界，可在磁場(chǎng)區(qū)域加一勻強(qiáng)電場(chǎng)，求該電場(chǎng)的場(chǎng)強(qiáng)大小和方向；
（3）若粒子是經(jīng)電壓U₂加速后射入磁場(chǎng)，粒子則剛好垂直PQ射出磁場(chǎng)，求加速電壓U₂；
（4）若PQ是一金屬板，粒子垂直PQ射出磁場(chǎng)后被附近一帶電量為+Q的固定帶點(diǎn)小球俘獲后，做半徑為r的圓周運(yùn)動(dòng)，求粒子從PQ穿出時(shí)損失的動(dòng)能．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)幾何關(guān)系求出做圓周運(yùn)動(dòng)的規(guī)定半徑，由加速過(guò)程中電場(chǎng)力做的功等于粒子動(dòng)能的變化量及圓周運(yùn)動(dòng)向心力公式即可求得加速電壓；
（2）加勻強(qiáng)電場(chǎng)后，粒子在磁場(chǎng)中沿直線運(yùn)動(dòng)射出PQ邊界的條件為電場(chǎng)力的方向與磁場(chǎng)力的方向相反，大小相等，根據(jù)Eq=qv₁B即可的E；
（3）用（1）的方法求加速電壓U₂；
（4）由兩電荷間的庫(kù)侖力提供向心力求出速度，再分別求出動(dòng)能，即可求出粒子從PQ穿出時(shí)損失的動(dòng)能．

解答：解：（1）由圖可得R₁（1+cosθ）=L
在磁場(chǎng)中做圓周運(yùn)動(dòng)：qv1B=m

v 2 1

R1

在電場(chǎng)中加速：U1q=

1

2

m

v

2 1

得：U1=

qB2L2

2m(1+cosθ)

（2）加勻強(qiáng)電場(chǎng)后，粒子在磁場(chǎng)中沿直線運(yùn)動(dòng)射出PQ邊界的條件為電場(chǎng)力的方向與磁場(chǎng)力的方向相反，且Eq=qv₁B
得：E=

qB2L

m(1+cosθ)

E的方向垂直磁場(chǎng)方向斜向右下，與磁場(chǎng)邊界夾角為：a=

π

2

-θ
（3）由圖可得R₂cosθ=L
同第（1）小題相同，得：U2=

qB2L2

2mcosθ

（4）由兩電荷間的庫(kù)侖力提供向心力可得：k

Qq

r2

=m

v 2 3

r

△Ek=

1

2

m

v

2 2

-

1

2

m

v

2 3

=

1

2

(

q2B2L2

mcos2θ

-k

Qq

r

)
答：（1）加速電壓U₁為

qB2L2

2m(1+cosθ)

；
（2）該電場(chǎng)的場(chǎng)強(qiáng)大小為

qB2L

m(1+cosθ)

，方向垂直磁場(chǎng)方向斜向右下，與磁場(chǎng)邊界夾角為

π

2

-θ；
（3）若粒子是經(jīng)電壓U₂加速后射入磁場(chǎng)，粒子則剛好垂直PQ射出磁場(chǎng)，加速電壓U₂為

qB2L2

2mcosθ

；
（4）粒子從PQ穿出時(shí)損失的動(dòng)能為

1

2

(

q2B2L2

mcos2θ

-k

Qq

r

)．

點(diǎn)評(píng)：該題主要考查了帶電粒子在加速電場(chǎng)和磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)．要求同學(xué)們能正確畫出粒子運(yùn)動(dòng)的軌跡，并根據(jù)幾何關(guān)系求得軌道半徑，能用向心力公式和周期公式解題，難度較大，屬于難題．