Question

絕緣材料制成的圓柱形細(xì)管質(zhì)量為4m、帶電荷量為+q、管長為h，管底封閉且水平，由于空間有豎直向上的勻強(qiáng)電場，它剛好能豎直靜止．現(xiàn)從其管口無初速釋放一個(gè)絕緣的、不帶電的、質(zhì)量為m的小球（直徑小于管的內(nèi)徑，可以視為質(zhì)點(diǎn)），不計(jì)空氣對(duì)小球和細(xì)管的作用力，在小球和細(xì)管的運(yùn)動(dòng)或碰撞過程中，不會(huì)改變各自的帶電情況，已知重力加速度為g，問：
（1）電場強(qiáng)度E多大？
（2）小球第一次與管底碰撞前瞬間的速度多大？
（3）小球與管底的碰撞為彈性碰撞（機(jī)械能不變）且碰撞時(shí)間可忽略，小球第二次與管底碰前瞬間的速度多大？

Answer 1

分析：（1）帶電管剛好在電場中靜止，電場力與重力二力平衡，列式可求得電場強(qiáng)度E．
（2）小球在管中自由下落，由運(yùn)動(dòng)學(xué)公式v=

2gh

求出小球第一次與管底碰撞前瞬間的速度v．
（3）小球與管底發(fā)生彈性碰撞，兩者組成的系統(tǒng)動(dòng)量守恒，由動(dòng)量守恒和機(jī)械能守恒列式，求出碰后兩者的速度．由于兩者質(zhì)量相等，交換速度，碰后管向下做勻速運(yùn)動(dòng)，小球做自由落體運(yùn)動(dòng)，由運(yùn)動(dòng)學(xué)公式分別列式兩者的位移，當(dāng)位移相等時(shí)，發(fā)生第二次碰撞，即可求出時(shí)間．再求出速度．

解答：解：（1）開始時(shí)，圓柱形管受力平衡，則有  qE=4mg
∴E=

4mg

q

 （2）小球在管中自由下落，由

v

2 1

=2gh
得，小球第一次與管底碰撞前瞬間的速度為v₁=

2gh

（3）小球與管相碰，且為彈性碰撞，兩者組成的系統(tǒng)動(dòng)量和機(jī)械能都守恒，設(shè)碰后速度分別為v₁′和v₂′．
∴mV₁=mv₁′+4mv₂′．

1

2

m

v

2 1

=

1

2

m

v

′2 1

+

1

2

?4m

v

′2 2

解得：v₁′=-

3

5

v1，反向；v₂′=

2

5

v1
設(shè)經(jīng)t時(shí)間二者二次相碰，設(shè)向下為正：
則：v₂′t=v₁′t+

1

2

gt2
即：

2

5

V1t=-

3

5

V1t+

1

2

gt2
解得：t=

2V1

g

∴碰前瞬間對(duì)小球：v₁₀=v₁′+gt=

7

5

v1=

7

5

2gh

答：
（1）電場強(qiáng)度為

4mg

q

．
（2）小球第一次與管底碰撞前瞬間的速度為

2gh

．
（3）小球與管底的碰撞為彈性碰撞（機(jī)械能不變）且碰撞時(shí)間可忽略，小球第二次與管底碰前瞬間的速度為

7 2gh

5

．

點(diǎn)評(píng)：本題關(guān)鍵要抓住彈性碰撞過程中，系統(tǒng)的動(dòng)量和機(jī)械能均守恒，再分析兩個(gè)物體的運(yùn)動(dòng)過程．