Question

如圖所示，光滑的水平面AB（足夠長(zhǎng)）與半徑為R=0.8m的光滑豎直半圓軌道BCD在B點(diǎn)相切，D點(diǎn)為半圓軌道最高點(diǎn)．A點(diǎn)的右側(cè)等高地放置著一個(gè)長(zhǎng)為L(zhǎng)=20m、逆時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)速度為v₀=10m/s的傳送帶．用輕質(zhì)細(xì)線連接甲、乙兩物體，中間夾一輕質(zhì)彈簧，彈簧與甲乙兩物體不栓接．甲的質(zhì)量為m₁=3kg，乙的質(zhì)量為m₂=1kg，甲、乙均靜止在光滑的水平面上．現(xiàn)固定乙球，燒斷細(xì)線，甲離開(kāi)彈簧后進(jìn)入半圓軌道并可以通過(guò)D點(diǎn)，且過(guò)D點(diǎn)時(shí)對(duì)軌道的壓力恰好等于甲的重力．傳送帶與乙物體間摩擦因數(shù)為0.6，重力加速度g取l0m/s²，甲、乙兩物體可看作質(zhì)點(diǎn)．
（1）求甲球離開(kāi)彈簧時(shí)的速度．
（2）若甲固定，乙不固定，細(xì)線燒斷后乙可以離開(kāi)彈簧后滑上傳送帶，求乙在傳送帶上滑行的最遠(yuǎn)距離．
（3）甲乙均不固定，燒斷細(xì)線以后，求甲和乙能否再次在AB面上水平碰撞？若碰撞，求再次碰撞時(shí)甲乙的速度；若不會(huì)碰撞，說(shuō)明原因．

Answer 1

（1）甲離開(kāi)彈簧以后，機(jī)械能守恒：

1

2

m₁

v

20

=m₁g?2R+

1

2

m₁

v

2D

過(guò)D點(diǎn)時(shí)對(duì)軌道的壓力恰好等于甲的重力，根據(jù)牛頓第二定律得：
2m₁g=

m1v 2D

R

解得：v₀=4

3

m/s
（2）根據(jù)能量守恒得：
E_p=

1

2

m₁

v

20

=

1

2

m₂

v

2乙

得：v_乙=12m/s
之后乙滑上傳送帶勻減速運(yùn)動(dòng)，根據(jù)牛頓第二定律得：
μmg=ma
得：a=6m/s²
速度為零時(shí)離A端最遠(yuǎn)，最遠(yuǎn)距離為：
x=

v 2乙

2a

=12m＜20m
即乙在傳送帶上滑行的最遠(yuǎn)距離為12m．
（3）甲乙分離分離過(guò)程中，動(dòng)量守恒，選v₁的方向?yàn)檎�，根�?jù)動(dòng)量守恒得：
m₁v₁=m₂v₂
甲乙彈簧系統(tǒng)能量守恒：
E_p=

1

2

m₁

v

20

=

1

2

m₁

v

21

+

1

2

m₂

v

22

解得：

v

1

=2

3

m/s，v2=6

3

m/s
之后甲沿軌道上滑，設(shè)上滑最高點(diǎn)高度為h，
則

1

2

m1

v

21

=m1gh
得h=0.6m＜0.8m
則甲上滑不到等圓心位置就會(huì)返回，返回AB面上速度仍然是v1=2

3

m/s
乙滑上傳送帶，因v2=6

3

m/s＜12m/s，
則乙先向右做勻減速運(yùn)動(dòng)，后向左勻加速．
由對(duì)稱性可知返回AB面上速度仍然為v2=6

3

m/s
所以甲和乙能再次在AB面上水平碰撞，再次碰撞時(shí)甲乙的速度大小分別是v1=2

3

m/s，v2=6

3

m/s
答：（1）甲球離開(kāi)彈簧時(shí)的速度大小是4

3

m/s．
（2）若甲固定，乙不固定，細(xì)線燒斷后乙可以離開(kāi)彈簧后滑上傳送帶，乙在傳送帶上滑行的最遠(yuǎn)距離是12m．
（3）甲乙均不固定，燒斷細(xì)線以后，甲和乙能再次在AB面上水平碰撞，再次碰撞時(shí)甲乙的速度大小分別是v1=2

3

m/s，v2=6

3

m/s