Question

如圖2-33所示，豎直放置的質量為4 m，長為L的圓管頂端塞有一個質量為m的彈性圓球，球和管間的滑動摩擦力和最大靜摩擦力大小均為4 mg．圓管從下端離地面距離為H處自由落下，落地后向上彈起的速度與落地時速度大小相等．求：

(1)圓管彈起后圓球不致滑落，L應滿足什么條件．

(2)圓管上升的最大高度是多少?

(3)圓管第二次彈起后圓球不致滑落，L又應滿足什么條件?

Answer 1

解析：（1）取豎直向下的方向為正方向。

   球與管第一次碰地前瞬間速度，方向向下。

   碰地的瞬間管的速度，方向向上；球的速度，方向向下，

   球相對于管的速度，方向向下。

   碰后，管受重力及向下的摩擦力，加速度a_管=2g，方向向下，

   球受重力及向上的摩擦力，加速度a_球=3g，方向向上，

球相對管的加速度a_相=5g，方向向上。

取管為參照物，則球與管相對靜止前，球相對管下滑的距離為：

要滿足球不滑出圓管，則有。

（2）設管從碰地到它彈到最高點所需時間為t₁（設球與管在這段時間內摩擦力方向不變），則：

設管從碰地到與球相對靜止所需時間為t₂，

因為t₁ ＞t₂，說明球與管先達到相對靜止，再以共同速度上升至最高點，設球與管達到相對靜止時離地高度為h’，兩者共同速度為v’，分別為：

然后球與管再以共同速度v’作豎直上拋運動，再上升高度h’’為

因此，管上升最大高度H’=h’+h’’=

（3）當球與管第二次共同下落時，離地高為，球位于距管頂處，同題（1）可解得在第二次反彈中發(fā)生的相對位移。