Question

特種兵過山谷的一種方法可化簡為如圖所示的模型：將一根長為2d、不可伸長的細繩的兩端固定在相距為d的A、B兩等高處，懸繩上有小滑輪P，戰(zhàn)士們相互配合，可沿著細繩滑到對面．開始時，戰(zhàn)士甲拉住滑輪，質量為m的戰(zhàn)士乙吊在滑輪上，處于靜止狀態(tài)，AP豎直，則此時甲對滑輪的水平拉力為

mg

2

；若甲將滑輪由靜止釋放，則乙在滑動中速度的最大值為

( 3 - 3 2 )gd

．（不計滑輪與繩的質量，不計滑輇的大小及摩擦）

Answer 1

分析：（1）戰(zhàn)士甲拉住滑輪，質量為m的戰(zhàn)士乙吊在滑輪上，處于靜止狀態(tài)，對滑輪受力分析應用平衡條件可求出甲的拉力．
（2）甲將滑輪由靜止釋放后，戰(zhàn)士乙只有重力對其做功，所以下落到最低點是速度最大，求出最大的下落高度，應用動能定理可求出戰(zhàn)士乙的最大速度．

解答：解：（1）對滑輪受力分析并正交分解如圖：

同一根繩上的拉力相等，故AP，BP繩上的拉力均為F
設AP的長度為：x，則BP長度為：2d-x
在直角三角形ABP中：

.

BP

2=

.

AB

2+

.

AP

2
即：（2d-x）²=d²+x²
解得：x=

3

4

d，即：AP長度為：

3

4

d，BP長度為：

5d

4

即：∠APB=53°
所以：F₁=Fcos53°=0.6F
F₂=Fsin53°=0.8F
由滑輪平衡得：
y方向：mg=F+F₁=F+0.6F
解得：F=

mg

1.6

x方向：F₂=F_拉，即：F_拉=0.8×

mg

1.6

=

mg

2

（2）甲將滑輪由靜止釋放后，戰(zhàn)士乙只有重力對其做功，所以下落到最低點是速度最大，下落到最低點時，繩子如圖

此時三條邊均為d，三角形為正三角形，即：每個角為60°
所以此時P距離A點的豎直高度OP為：dsin60°=

3

2

d
從靜止到此狀態(tài)戰(zhàn)士乙共下落的高度h為：h=

3

2

d-

3

4

d
設此時的速度為v，在下落過程中只有重力做功，做的功為：mgh
由動能定理得：
mgh=

1

2

mv2
代入數(shù)據(jù)得：v=

2gh

=

2g( 3 2 d- 3 4

d)=

( 3 - 3 2 )gd

故答案為：

mg

2

；

( 3 - 3 2 )gd

點評：此題主要考察平衡條件的應用，難點在于根據(jù)繩子的長度算出直角三角形的角度，需要細細品味．在下落的過程中最低點速度是最大的，難點在求出下落到最低點時下落的高度是多少，需要數(shù)形結合，總體來說是個難題，每一步都需要仔細推敲．