Question

在某平面上有一半徑為R的圓形區(qū)域，區(qū)域內(nèi)外均有垂直于該平面的勻強(qiáng)磁場，圓外磁場范圍足夠大，已知兩部分磁場方向相反且磁感應(yīng)強(qiáng)度都為B，方向如圖所示。現(xiàn)在圓形區(qū)域邊界上的A點(diǎn)有一個(gè)帶電量為+q，質(zhì)量為m的帶電粒子以垂直于磁場方向且沿半徑向圓外的速度從該圓形邊界射出，已知該粒子只受到磁場對(duì)它的作用力。求：
(1)若粒子從A點(diǎn)射出后，第二次經(jīng)過磁場邊界時(shí)恰好經(jīng)過C點(diǎn)(AC是圓形區(qū)域的直徑)，求粒子的運(yùn)動(dòng)半徑；
(2)若粒子在其與圓心O的連線旋轉(zhuǎn)一周時(shí)，恰好能回到A點(diǎn)，試求該粒子運(yùn)動(dòng)速度v的可能值；
(3)在粒子恰能回到A點(diǎn)的情況下，求該粒子回到A點(diǎn)所需的最短時(shí)間。

Answer 1

解：(1)根據(jù)軌跡圖可得粒子運(yùn)動(dòng)的半徑r=R

(2)設(shè)粒子運(yùn)動(dòng)的半徑為r
由得 ①
如圖，O₁為粒子運(yùn)動(dòng)的第一段圓弧AB的圓心，O₂為粒子運(yùn)動(dòng)的第二段圓弧BC的圓心，根據(jù)幾何關(guān)系可知 ②
∠AOB=∠BOC=2θ
如果粒子回到A點(diǎn)，則必有n×2θ=2π，n取正整數(shù)  ③
由①②③可得
考慮到θ為銳角，即，根據(jù)③可得n≥3
故
(3)粒子做圓周運(yùn)動(dòng)的周期
因?yàn)榱Ｗ用看卧趫A形區(qū)域外運(yùn)動(dòng)的時(shí)間和圓形區(qū)域內(nèi)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間互補(bǔ)為一個(gè)周期T，所以粒子穿越圓形邊界的次數(shù)越少，所花時(shí)間就越短，因此取n=3代入到③可得
粒子在圓形區(qū)域外運(yùn)動(dòng)的圓弧的圓心角為α，
故所求的粒子回到A點(diǎn)的最短運(yùn)動(dòng)時(shí)間