Question

如圖所示，位于豎直平面內(nèi)的

1

4

圓弧光滑軌道，半徑為R，軌道的最低點(diǎn)B的切線沿水平方向，軌道上端A距水平地面高度為H．質(zhì)量為m的小球（可視為質(zhì)點(diǎn)）從軌道最上端A點(diǎn)由靜止釋放，經(jīng)軌道最下端B點(diǎn)水平飛出，最后落在水平地面上的C點(diǎn)處，若空氣阻力可忽略不計(jì)，重力加速度為g．求：
（1）小球運(yùn)動(dòng)到B點(diǎn)時(shí)，軌道對它的支持力多大；?
（2）小球落地點(diǎn)C與B點(diǎn)的水平距離x為多少；?
（3）比值

R

H

為多少時(shí)，小球落地點(diǎn)C與B點(diǎn)水平距離x最遠(yuǎn)；該水平距離最大值是多少．

Answer 1

（1）小球從A點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到B點(diǎn)的過程中，機(jī)械能守恒，設(shè)在B點(diǎn)的速度為v_B，根據(jù)機(jī)械能守恒定律有mgR=

1

2

mv_B²
設(shè)小球在B點(diǎn)時(shí)所受軌道的支持力為F_N，對小球在B點(diǎn)根據(jù)牛頓第二定律有
F_N-mg=m

v 2B

R

聯(lián)立可解得F_N=3mg
（2）小球離開B點(diǎn)后做平拋運(yùn)動(dòng)．
沿豎直方向有H-R=

1

2

gt2
沿水平方向有x=v_Bt
聯(lián)立解得x=2

R(H-R)

（3）由x=2

R(H-R)

可導(dǎo)出x=

H2-(2R-H)2

當(dāng)

R

H

=

1

2

時(shí)，x有最大值．
x的最大值x_m=H
答：（1）小球運(yùn)動(dòng)到B點(diǎn)時(shí)，軌道對它的支持力為3mg；?
（2）小球落地點(diǎn)C與B點(diǎn)的水平距離x為2

R(H-R)

；?
（3）比值

R

H

等于

1

2

時(shí)，小球落地點(diǎn)C與B點(diǎn)水平距離x最遠(yuǎn)；該水平距離最大值是H．