Question

近年來，人類發(fā)射的多枚火星探測(cè)器已經(jīng)相繼在火星著陸，正在進(jìn)行著激動(dòng)人心的科學(xué)探究，為我們將來登上火星、開發(fā)和利用火星奠定了堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)．如果火星探測(cè)器環(huán)繞火星做“近地”勻速圓周運(yùn)動(dòng)，并測(cè)得該運(yùn)動(dòng)的周期為T₁，火星半徑為R₁．在地球表面附近，擺長(zhǎng)為L(zhǎng)的單擺做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的周期為T₂，地球半徑為R₂．則火星的平均密度ρ₁與地球的平均密度ρ₂之比

ρ1

ρ2

為（　�。�

• A．

  T 2 2

  T 2 1

• B．

  T 2 1 R1

  T 2 2 R2

• C．

  T 2 2 L

  T 2 1 R1

• D．

  T 2 2 R2

  T 2 1 L

Answer 1

分析：由火星探測(cè)器環(huán)繞火星做“近地”勻速圓周運(yùn)動(dòng)的周期和火星的半徑，依據(jù)萬有引力提供向心力，可以得到火星的質(zhì)量，進(jìn)而可表示火星密度；由地球表面附近單擺的簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)可以得到地球重力加速度，再由地面萬有引力等于重力可得地球質(zhì)量，進(jìn)而可得地球的密度，可知火星與地球的密度之比．

解答：解：設(shè)火星質(zhì)量為M₁，地球質(zhì)量為M₂，火星探測(cè)器環(huán)繞火星做“近地”勻速圓周運(yùn)動(dòng)，由萬有引力提供向心力可得：
G

M1m

R12

=mR1

4π2

T12

；
解得：
M1=

4π2R13

GT12

；
故火星的密度為：
ρ1=

M1

V1

=

4π2R13 GT12

4πR13 3

=

3π

GT12

；
在地球表面附近，擺長(zhǎng)為L(zhǎng)的單擺做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的周期為T₂，可知：
T2=2π

L g

；
由黃金代換可得：
GM2=gR22；
由以上兩式解得：
M2=

4π2LR22

GT22

；
故地球密度為：
ρ2=

M2

V2

=

4π2LR22 GT22

4πR23 3

=

3πL

GR2T22

；
可知火星的平均密度ρ₁與地球的平均密度ρ₂之比：

ρ1

ρ2

=

3π GT12

3πL GR2T22

=

T 2 2 R2

T 2 1 L

．
故ABC錯(cuò)誤，D正確．
故選：D．

點(diǎn)評(píng)：首先掌握基本的萬有引力提供向心力的各種表達(dá)式，并能依據(jù)給定的已知量靈活應(yīng)用；其次要知道單擺的周期表達(dá)式，這是本題的重點(diǎn)．