Question

質(zhì)量均為m的小球B用一根輕質(zhì)彈簧豎直固定的內(nèi)壁光滑的直圓筒內(nèi)，平衡時(shí)彈簧的壓縮量為x₀，如圖所示．設(shè)彈簧的彈性勢能與彈簧的形變量（即伸長量或縮短量）的平方成正比．小球A從小球B的正上方距離為3x₀的P處自由落下，落在小球B上立刻與小球B粘連在一起向下運(yùn)動(dòng)，它們達(dá)到最低點(diǎn)后又向上運(yùn)動(dòng)，已知小球A的質(zhì)量也為m時(shí)，它們恰能回到O點(diǎn)（設(shè)兩個(gè)小球直徑相等，且遠(yuǎn)小于x₀，略小于直圓管內(nèi)徑），求：
（1）兩個(gè)小球及彈簧組成的系統(tǒng)在上述過程中機(jī)械能是否守恒；
（2）彈簧初始時(shí)刻的機(jī)械能；
（3）小球A與小球B一起向下運(yùn)動(dòng)時(shí)速度的最大值．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)系統(tǒng)機(jī)械能守恒的條件判斷在各個(gè)過程中是否守恒即可；
（2）彈簧從原長壓縮到x₀的過程中，彈簧力與位移成線性關(guān)系，求出克服彈簧力的功，最大彈力等于物體的重力，且克服彈簧力的功等于彈簧增加的彈性勢能，所以，彈簧被壓縮后即初始時(shí)刻的彈性勢能；
（3）當(dāng)彈簧的彈力等于A、B兩球的總重力時(shí)，小球A、B的速度最大，根據(jù)力的平衡求出兩球下降的距離，再對系統(tǒng)運(yùn)用機(jī)械能守恒定律，求出最大速度．

解答：解：（1）整個(gè)系統(tǒng)在A下落到與B碰撞前，只有重力做功，機(jī)械能守恒；AB碰撞的過程中，系統(tǒng)機(jī)械能不守恒；AB碰撞后至回到O點(diǎn)過程中，機(jī)械能守恒；
（2）彈簧從原長壓縮到x₀的過程中，彈簧力與位移成線性關(guān)系，所以，克服彈簧力的功可以由平均力求出：W=

Fm

2

x₀，
最大彈力等于物體的重力，且克服彈簧力的功等于彈簧增加的彈性勢能，所以，彈簧被壓縮后即初始時(shí)刻的彈性勢能EP=W=

1

2

mgx0   
（3）設(shè)A與B接觸時(shí)的速度為v₁，由機(jī)械能守恒，
mg?3x₀=

1

2

mv12，
解得：v1=

6gx0

二物體相碰過程動(dòng)量守恒m  v₁=2mv₂，粘合后速度  v2=

1

2

6gx0

．
A和B粘合后加速下行，當(dāng)彈簧彈力等于二物體總重力時(shí)速度達(dá)到最大，此時(shí)彈簧壓縮量為2x₀，設(shè)最大速度為v_m．設(shè)達(dá)到最大速度時(shí)彈簧的彈性勢能為E′_P，由題設(shè)條件可知
E′_P=4E_P=2mgx₀
二物體粘合后機(jī)械能守恒，取速度最大處為零勢能面，則
EP+

1

2

×2mv22+2mgx0=E′P+

1

2

×2mvm2
解得vm=

2gx0

    
答：（1）整個(gè)系統(tǒng)在A下落到與B碰撞前，機(jī)械能守恒；AB碰撞的過程中，系統(tǒng)機(jī)械能不守恒；AB碰撞后至回到O點(diǎn)過程中，機(jī)械能守恒；
（2）彈簧初始時(shí)刻的機(jī)械能為

1

2

mgx0；
（3）小球A與小球B一起向下運(yùn)動(dòng)時(shí)速度的最大值為

2gx0

．

點(diǎn)評：本題綜合運(yùn)用了動(dòng)能定理、動(dòng)量守恒定律、機(jī)械能守恒定律，綜合性較強(qiáng)，關(guān)鍵是選擇好研究的過程，運(yùn)用合適的規(guī)律列表達(dá)式求解．