Question

如圖所示，光滑固定軌道的兩端都是半徑為R的四分之一圓弧，在軌道水平面上有兩個(gè)質(zhì)量均為m的小球B、C，B、C用一長(zhǎng)度鎖定不變的輕小彈簧栓接，彈性勢(shì)能Ep=

2

3

mgR．一質(zhì)量也為m的小球A從左側(cè)的最高點(diǎn)自由滑下，A滑到水平面與B碰后立即粘在一起結(jié)合成D就不再分離（碰撞時(shí)間極短）．當(dāng)D、C一起剛要滑到右側(cè)最低點(diǎn)時(shí)，彈簧鎖定解除且立即將C彈出并與彈簧分離．求
（1）彈簧鎖定解除前瞬間，D、C速度大小
（2）彈簧鎖定解除后，C第一次滑上軌道右側(cè)圓弧部分的軌跡所對(duì)的圓心角
（3）彈簧鎖定解除后，若C、D（含彈簧）每次碰撞均在水平面；求第N次碰撞結(jié)束時(shí)，C、D的速度．

Answer 1

分析：1、運(yùn)用機(jī)械能守恒定律求解A球碰撞前的速度，據(jù)A、B、C系統(tǒng)動(dòng)量守恒求解
2、根據(jù)彈簧鎖定解除前后，系統(tǒng)動(dòng)量守恒和機(jī)械能守恒求解
3、根據(jù)C、D（含彈簧）動(dòng)量守恒和機(jī)械能守恒求解

解答：解：（1）根據(jù)機(jī)械能守恒定律得：
mgR=

1

2

mv12…．①
據(jù)A、B、C系統(tǒng)動(dòng)量守恒得：
mv₁=3mv…②
由①②得v=

2gR

3

…③
（2）根據(jù)彈簧鎖定解除前后，系統(tǒng)動(dòng)量守恒得：
3mv=mv_c+2mv_D…④
根據(jù)系統(tǒng)機(jī)械能守恒得：

1

2

3mv2+Ep=

1

2

2mvD2+

1

2

mvC2…⑤
由③④⑤得：vc=-

1

3

2gR

（舍去） vc=

2gR

 vD=-

2

3

2gR

（舍去）  v_D=0…⑥
C第一次滑上軌道右側(cè)圓弧部分，根據(jù)系統(tǒng)機(jī)械能守恒得：
mgR(1-cosθ)=

1

2

mvC2…⑦
由⑥⑦得：θ=90°
（3）以左為正方向，根據(jù)C、D（含彈簧）動(dòng)量守恒得：
第一次：mv_C=mv_C1+2mv_D1…⑧
根據(jù)系統(tǒng)機(jī)械能守恒得：
mgR=

1

2

mvC12+

1

2

2mvD12…⑨
由⑧⑨得：vC1=

2gR

（舍去）  vC1=-

1

3

2gR

   v_D1=0（舍去）  vD1=

2

3

2gR

…．⑩
同理第二次：-2mv_D1+mv_C1=mv_C2+2mv_D2…..（11）
mgR=

1

2

mvC22+

1

2

2mvD22…（12）
由⑩（11）（12）得：vC2=

1

3

2gR

（舍去） vC2=-

2gR

 vD2=-

2

3

2gR

（舍去） v_D2=0
綜上所述：當(dāng)N為奇數(shù)：vC=

1

3

2gR

（向右） vD=

2

3

2gR

  當(dāng)N為偶數(shù)時(shí)：vC=

2gR

（向右） v_D=0
答：（1）彈簧鎖定解除前瞬間，D、C速度大小是

2gR

3

（2）彈簧鎖定解除后，C第一次滑上軌道右側(cè)圓弧部分的軌跡所對(duì)的圓心角是90°
（3）彈簧鎖定解除后，若C、D（含彈簧）每次碰撞均在水平面，當(dāng)N為奇數(shù)時(shí)，CD的速度分別為

1

3

2gR

（向右）

2

3

2gR

當(dāng)N為偶數(shù)CD的速度分別為

2gR

（向右）  v_D=0．

點(diǎn)評(píng)：分析清楚A、B、C的運(yùn)動(dòng)過(guò)程，選擇不同的過(guò)程應(yīng)用動(dòng)量守恒定律和機(jī)械能守恒定律，即可正確解題．