Question

如圖所示，真空中的xOy平面為豎直平面，在第一象限中有豎直向上的勻強(qiáng)電場，第四象限中有垂直于紙面的勻強(qiáng)磁場，場強(qiáng)大小為B．一質(zhì)量為m、電荷量為q的帶電粒子以初速度v_o垂直于y軸從M點射入勻強(qiáng)電場，經(jīng)電場偏轉(zhuǎn)后和x軸成60°角斜向下從N點進(jìn)入磁場，最后從Q點水平射出磁場，不計重力．
求：（1）MN兩點的電勢差U_MN
（2）勻強(qiáng)磁場的方向和粒子運(yùn)動的半徑；
（3）粒子從M到Q所用時間；
（4））電場強(qiáng)度．

Answer 1

分析：（1）粒子垂直于電場進(jìn)入第一象限，粒子做類平拋運(yùn)動，由到達(dá)N的速度方向可利用速度的合成與分解得知此時的速度，在應(yīng)用動能定理即可求得電場中MN兩點間的電勢差．
（2）粒子以此速度進(jìn)入第四象限，在洛倫茲力的作用下做勻速圓周運(yùn)動，根據(jù)左手定則可確定磁場方向，先畫出軌跡圖，找出半徑；利用洛倫茲力提供向心力的公式，可求出在磁場中運(yùn)動的半徑．
（3）粒子的運(yùn)動分為兩部分，一是在第一象限內(nèi)做類平拋運(yùn)動，二是在第四象限內(nèi)做勻速圓周運(yùn)動，分段求出時間，相加可得總時間．
（4）粒子在豎直方向做勻加速直線運(yùn)動，因此在電場中的高度等于豎直方向平均速度與時間的乘積，從而由U=Ed可算出電場強(qiáng)度．

解答：解：（1）粒子在第一象限內(nèi)做類平拋運(yùn)動，進(jìn)入第四象限做勻速圓周運(yùn)動．粒子帶負(fù)電，設(shè)粒子過N點的速度為v，有

v0

v

=cosθ得：v=2v₀
粒子從M點到N點的過程，由動能定理有：
（-q）U_MN=

1

2

mv ²-

1

2

mv₀²   
 U_MN=-

3m v 2 0

2q

（2）粒子在電場中向下偏則帶電粒子帶負(fù)電，在磁場中從N向Q偏，
由左手定則可知：磁場方向垂直紙面向里．  
 由qBv=m

v2

R

得R=

2mv0

qB

（3）由幾何關(guān)系得：
ON=rsinθ
則有：ON=Rcos30°=

3 mv0

qB

，
設(shè)粒子在電場中運(yùn)動的時間為t₁，則有：
ON=v₀t₁
所以運(yùn)動時間：t₁=

ON

v0

=

3 m

qB

在磁場中的周期為：T=

2πm

qB

，在磁場中的時間：t₂=

120

360

T=

2πm

3qB

則運(yùn)動總時間為：t=t₁+t₂=

(3 3 +2π)m

3qB

（4）M到N豎直方向做初速度為零的勻加速直線運(yùn)動，則有：h=

0+v⊥

2

t₁
而v_⊥=v₀tan60°
解得：h=

3mv0

2qB

則由U=Ed，解得：E=

UNM

h

=v₀B
答：（1）MN兩點的電勢差為-

3m v 2 0

2q

；
（2）勻強(qiáng)磁場的方向垂直紙面向里和粒子運(yùn)動的半徑為

2mv0

qB

；
（3）粒子從M到Q所用時間為

(3 3 +2π)m

3qB

；
（4）電場強(qiáng)度的大小為v₀B．

點評：該題考查了電場和磁場邊界問題，不同場的分界面上，既是一種運(yùn)動的結(jié)束，又是另一種運(yùn)動的開始，尋找相關(guān)物理量尤其重要．
粒子在電場中運(yùn)動偏轉(zhuǎn)時，常用能量的觀點來解決問題，有時也要運(yùn)用運(yùn)動的合成與分解．
點粒子做勻速圓周運(yùn)動的圓心、半徑及運(yùn)動時間的確定也是本題的一個考查重點
圓心的確定：因洛倫茲力提供向心力，洛倫茲力總垂直于速度，畫出帶電粒子運(yùn)動軌跡中任意兩點（一般是射入磁場和射出磁場的兩點）洛倫茲力的方向，其延長的交點即為圓心．或射入磁場和射出磁場的兩點間弦的垂直平分線與一半徑的交點即為圓心．
半徑的確定：半徑一般都在確定圓心的基礎(chǔ)上用平面幾何知識求解，常常是解直角三角形．
運(yùn)動時間的確定：利用圓心與弦切角的關(guān)系計算出粒子所轉(zhuǎn)過的圓心角θ的大小，用公式t=

θ

360°

T，可求出運(yùn)動時間．
再者就是要正確畫出粒子運(yùn)動的軌跡圖，能熟練的運(yùn)用幾何知識解決物理問題．