Question

如圖，傾角為θ的斜面固定．有n個質量都為m的相同的小木塊（可視為質點）放置在斜面上．相鄰兩小木塊間距離都為l，最下端的木塊距底端也是l，小木塊與斜面間的動摩擦因數(shù)都為μ．在開始時刻，第一個小木塊從斜面頂端以初速度v₀沿斜面下滑，其余所有木塊都靜止，由于第一個木塊的下滑將依次引起一系列的碰撞．設每次碰撞的時間極短，在每次碰撞后，發(fā)生碰撞的木塊都粘在一起運動，直到最后第n個木塊到達底端時，速度剛好為零．已知重力加速度為g．求：
（1）第一次碰撞后小木塊1的速度大小v；
（2）從第一個小木塊開始運動到第一次碰撞后系統(tǒng)損失的機械能△E；
（3）發(fā)生一系列碰撞后，直到最后第n個木塊到達底端，在整個過程中，由于碰撞所損失的總機械能△E_總．

Answer 1

分析：（1）由動能定理可求出小木塊1碰前的速度，再由動量守恒可求出小木塊1碰撞后的速度大��；
（2）碰撞前因摩擦力做功，導致小木塊機械能損失；再求出碰撞后小木塊動能的減小導致機械能損失；從而兩者之和即為從第一個小木塊開始運動到第一次碰撞后系統(tǒng)損失的機械能；
（3）通過力做功表達式求出碰撞整個過程中，重力、摩擦力做功；再根據(jù)功能關系可求出在碰撞中總機械能損失．

解答：解：（1）設小木塊1碰前的速度為v₁，從開始運動到碰前，
根據(jù)動能定理：mglsinθ-μmglcosθ=

1

2

m

v

2 1

-

1

2

m

v

2 0

    對小木塊1和2，由動量守恒  mv₁=2mv      
    則有    v=

1

2

v 2 0 +2gl(sinθ-μcosθ)

  
（2）碰撞前損失的機械能為△E₁=μmglcosθ    
    因碰撞損失的機械能為   △E2=

1

2

m

v

2 1

-

1

2

?2mv2    
   則有△E=△E₁+△E₂=

1

4

m

v

2 0

+

1

2

mgl(sinθ-μcosθ)
   （3）對n個木塊碰撞的全過程
    重力做的總功     W_G=mglsinθ（1+2+3+…+n）=

n(n+1)

2

mglsinθ
    克服摩擦做的總功
      W_f=μmglcosθ（1+2+3+…+n）=

n(n+1)

2

μmglcosθ      
    根據(jù)功與能的關系   WG+

1

2

m

v

2 0

=Wf+△E總   
     由以上各式求出   △E總=

1

2

m

v

2 0

+

n(n+1)

2

mgl（sinθ-μcosθ）    
答：（1）第一次碰撞后小木塊1的速度大小 v=

1

2

v 2 0 +2gl(sinθ-μcosθ)

；
（2）從第一個小木塊開始運動到第一次碰撞后系統(tǒng)損失的機械能△E=△E₁+△E₂=

1

4

m

v

2 0

+

1

2

mgl(sinθ-μcosθ)；
（3）發(fā)生一系列碰撞后，直到最后第n個木塊到達底端，在整個過程中，由于碰撞所損失的總機械能  △E總=

1

2

m

v

2 0

+

n(n+1)

2

mgl（sinθ-μcosθ）．

點評：本題是力學綜合題，考查動能定理、動量守恒定律、功的公式、功與能關系等規(guī)律，同時動量守恒定律注意矢量性及功的正負．