Question

將氫原子中電子的運(yùn)動(dòng)看作是繞固定的氫核做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，已知電子的電量為e，質(zhì)量為m．
（1）若以相距氫核無(wú)窮遠(yuǎn)處為零勢(shì)能參考位置，則電子運(yùn)動(dòng)的軌道半徑為r時(shí)，原子的能量E=E_k+E_p=-

ke2

2r

，其中k為靜電力恒量，試證明氫原子核在距核r處的電勢(shì)U_r=k

e

r

（2）在研究電子繞核運(yùn)動(dòng)的磁效應(yīng)時(shí)，可將電子的運(yùn)動(dòng)等效為一個(gè)環(huán)形電流．現(xiàn)對(duì)一氫原子加上一外磁場(chǎng)，其磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B，方向垂直電子的軌道平面，這時(shí)電子運(yùn)動(dòng)的等效電流用I₁表示，將外磁場(chǎng)反向，但磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B，這時(shí)電子運(yùn)動(dòng)的等效電流用I₂表示，假設(shè)上述兩種情況下氫核的位置，電子運(yùn)動(dòng)的軌道平面及軌道半徑都不變，求外磁場(chǎng)反向前后電子運(yùn)動(dòng)的等效電流的差值，即|I₁-I₂|等于多少？

Answer 1

分析：（1）根據(jù)電子繞原子核的做勻速圓周運(yùn)動(dòng)可以求得電子的動(dòng)能的大小，根據(jù)原子的能量E=E_k+E_p=-

ke2

2r

，可以求得電子具有的勢(shì)能的大小，從而可以求得電子具在距核r處的電勢(shì)．
（2）根據(jù)電流的公式，可以求得電子的等效的電流的大小，根據(jù)電流的表達(dá)式即可求得電流差值的絕對(duì)值．

解答：解：（1）電子繞核做勻速圓周運(yùn)動(dòng)有　　

ke2

r2

=m

v2

r

　　
電子的動(dòng)能　E_k=

1

2

mv²　
原子的能量　E=E_k+E_p=-

ke2

2r

　
聯(lián)立求解得　氫原子核r處的電勢(shì)能
E_p=-

ke2

2r

-

ke2

2r

=-

ke2

r

　
又因?yàn)椤�U_r=

Ep

-e

　　
所以  　U_r=k

e

r

（2）設(shè)電子繞核運(yùn)動(dòng)的軌道半徑為r，運(yùn)動(dòng)的速度為v，等效電流　I=

e

T

=

ev

2πr

加磁場(chǎng)后，若設(shè)電子的運(yùn)動(dòng)速度為v₁，磁場(chǎng)反向后，電子的運(yùn)動(dòng)速率為v₂，
則有　　

ke2

r

+ev₁B=m

v 2 1

r

　　　　　
      

ke2

r

-ev₂B=m

v 2 2

r

　
聯(lián)立求解得　　v₁-v₂=

eBr

m

所以|I₁-I₂|=

2

2πr

|v₁-v₂|=

e2B

2πm

　 
答：（1）證明如上．
（2）外磁場(chǎng)反向前后電子運(yùn)動(dòng)的等效電流的差值，|I₁-I₂|等于

e2B

2πm

．

點(diǎn)評(píng)：在第一問(wèn)中，關(guān)鍵是根據(jù)原子的能量E=E_k+E_p=-

ke2

2r

求出電子具有的電勢(shì)能的大小，在第二問(wèn)中要會(huì)根據(jù)向心力的大小求出兩種情況下的等效電流的．