Question

如圖所示，一個物塊A（可看成質(zhì)點）放在足夠長的平板小車B的右端，A、B一起以v₀的水平初速度沿光滑水平面向左滑行。左邊有一固定的豎直墻壁，小車B與墻壁相碰，碰撞時間極短，且碰撞前、后無動能損失。已知物塊A與小車B的水平上表面間的動摩擦因數(shù)為μ，重力加速度為g。
（1）若A、B的質(zhì)量均為m，求小車與墻壁碰撞后的運動過程中，物塊A所受摩擦力的沖量大小和方向；
（2）若A、B的質(zhì)量比為k，且k＜1，求物塊A在小車B上發(fā)生相對運動的過程中物塊A對地的位移大��；
（3）若A、B的質(zhì)量比為k，且k=2，求小車第一次與墻壁碰撞后的運動過程所經(jīng)歷的總時間。

Answer 1

解：（1）設(shè)小車B與墻碰撞后物塊A與小車B所達(dá)到的共同速度大小為v，設(shè)向右為正方向，則由動量守恒定律得mv₀－mv₀=2mv
解得v=0
對物塊A，由動量定理得摩擦力對物塊A的沖量I=0－（－mv₀）=mv₀，沖量方向水平向右
（2）設(shè)A和B的質(zhì)量分別為km和m，小車B與墻碰撞后物塊A與小車B所達(dá)到的共同速度大小為v′，木塊A的位移大小為s。設(shè)向右為正方向，則由動量守恒定律得：mv₀－kmv₀=（m+km）v′
解得v′=
對木塊A由動能定理
代入數(shù)據(jù)解得
（3）當(dāng)k=2時，根據(jù)題意由于摩擦的存在，經(jīng)B與墻壁多次碰撞后最終A、B一起停在墻角。A與B發(fā)生相對運動的時間t₀可等效為A一直做勻減速運動到速度等于0的時間，在A與B發(fā)生相對滑動的整個過程，對A應(yīng)用動量定理：
解得時間
設(shè)第1次碰后A、B達(dá)到的共同速度為v₁，B碰墻后，A、B組成的系統(tǒng)，沒有外力作用，水平方向動量守恒，設(shè)水平向右為正方向，由動量守恒定律，得mv₀－2mv0=（2m+m）v₁
即（負(fù)號表示v₁的方向向左）
第1次碰后小車B向左勻速運動的位移等于向右勻減速運動到速度大小為v₁這段運動的位移s₁
對小車B，由動能定理得-μ2mgs₁=mv₁²－mv₀²
解得s₁=
第1次碰后小車B向左勻速運動時間
設(shè)第2次碰后共速為v₂，由動量守恒定律，得mv₁－2mv₁=（2m+m）v₂
即
第2次碰后小車B向左勻速運動的位移等于向右勻減速運動到速度大小為v₂這段運動的位移s₂
對小車B，由動能定理得-μ2mgs₂=mv₂²－mv₁²
解得s₂=
第2次碰后小車B向左勻速運動時間
同理，設(shè)第3次碰后共速為v₃，碰后小車B向左勻速運動的位移為s₃，則由動量守恒定律，得
，s₃=
第3次碰后小車B向左勻速運動時間
由此類推，第n次碰墻后小車B向左勻速運動時間
第1次碰墻后小車B向左勻速運動時間即B從第一次撞墻后每次向左勻速運動時間為首項為t₁，末項為t_n，公比為的無窮等比數(shù)列。即B從第一次與墻壁碰撞后勻速運動的總時間

所以，從第一次B與墻壁碰撞后運動的總時間