Question

如圖所示，AB為光滑的四分之一圓軌道，BC為光滑的半圓軌道，它們都放置在豎直平面內(nèi)且相切于B點(diǎn)，A、C兩點(diǎn)距地面的高度均為H．現(xiàn)有一個(gè)質(zhì)量為m的小球，以豎直向下的初速度V₀從A點(diǎn)開始沿軌道運(yùn)動(dòng)，不計(jì)空氣阻力．試求：
（1）欲使小球能從C點(diǎn)飛出，小球的初速度至少多大？
（2）若小球以上述初速度從A點(diǎn)開始運(yùn)動(dòng)，則在小球通過(guò)B點(diǎn)的速度大�。�
（3）若小球以上述初速度從A點(diǎn)開始運(yùn)動(dòng)，則當(dāng)它從C點(diǎn)飛出后，落到AB軌道時(shí)的動(dòng)能多大？

Answer 1

分析：（1）小球從A到C的過(guò)程中，只有重力做功，機(jī)械能守恒，由于A與C點(diǎn)高度相同，則小球到達(dá)C點(diǎn)時(shí)的速度等于小球在A點(diǎn)時(shí)的速度，小球在圓軌道上做圓周運(yùn)動(dòng)，小球在C點(diǎn)做圓周運(yùn)動(dòng)所需向心力僅由重力提供時(shí)，小球從C點(diǎn)飛出時(shí)的速度最小；由牛頓第二定律可以求出小球的最小速度．
（2）從A點(diǎn)到B，只有重力做功，由動(dòng)能定理可以求出小球到達(dá)B點(diǎn)的速度．
（3）小球從C點(diǎn)飛出后做平拋運(yùn)動(dòng)，由平拋運(yùn)動(dòng)規(guī)律可以求出小球的水平位移與豎直位移，由動(dòng)能定理可以求出小球落到軌道上的動(dòng)能．

解答：解：（1）在C點(diǎn)，軌道半徑為：R=

H

2

，
由牛頓第二定律得：mg=m

v 2 0

R

，
解得：v₀=

gH 2

；
（2）從A到B，由動(dòng)能定理得：
mgH=

1

2

mv_B²-

1

2

mv₀²，
解得：v_B=

5gH 2

；
（3）小球離開C點(diǎn)后做平拋運(yùn)動(dòng)，
x=v₀t，y=

1

2

gt²，R=

x2+y2

，
由動(dòng)能定理得：mgy=

1

2

mv²-

1

2

mv₀²，
解得：v=

(2 2 -1)gH 2

，
小球動(dòng)能為：E_K=

1

2

mv²=

(2 2 -1)mgH

4

．
答：（1）欲使小球能從C點(diǎn)飛出，小球的初速度至少為

gH 2

；
（2）若小球以上述初速度從A點(diǎn)開始運(yùn)動(dòng)，則在小球通過(guò)B點(diǎn)的速度為

5gH 2

；
（3）若小球以上述初速度從A點(diǎn)開始運(yùn)動(dòng)，則當(dāng)它從C點(diǎn)飛出后，落到AB軌道時(shí)的動(dòng)能為

(2 2 -1)mgH

4

．

點(diǎn)評(píng)：本題是一道力學(xué)綜合題，分析清楚小球的運(yùn)動(dòng)過(guò)程，一個(gè)個(gè)牛頓定律、動(dòng)能定理、平拋運(yùn)動(dòng)知識(shí)即可正確解題，解題時(shí)要注意數(shù)學(xué)知識(shí)的應(yīng)用．