Question

如圖所示，左圖是游樂(lè)場(chǎng)中過(guò)山車(chē)的實(shí)物圖片，右圖是過(guò)山車(chē)的原理圖．在原理圖中半徑分別為R₁=2.0m和R₂=8.0m的兩個(gè)光滑圓形軌道，固定在傾角為α=37°斜軌道面上的Q、Z兩點(diǎn)，且兩圓形軌道的最高點(diǎn)A、B均與P點(diǎn)平齊，圓形軌道與斜軌道之間圓滑連接．現(xiàn)使小車(chē)（視作質(zhì)點(diǎn)）從P點(diǎn)以一定的初速度沿斜面向下運(yùn)動(dòng)．已知斜軌道面與小車(chē)間的動(dòng)摩擦因數(shù)為μ=

1

24

．問(wèn)：（已知：g=10m/s²，sin37°=0.6，cos37°=0.8，tan（

a

2

）=

sina

1+cosa

．結(jié)果可保留根號(hào)．）

（1）若小車(chē)恰好能通過(guò)第一個(gè)圓形軌道的最高點(diǎn)A處，則其在P點(diǎn)的初速度應(yīng)為多大？
（2）若小車(chē)在P點(diǎn)的初速度為10m/s，則小車(chē)能否安全通過(guò)兩個(gè)圓形軌道？

Answer 1

（1）小車(chē)恰好過(guò)A點(diǎn)，由牛頓第二定律有
mg=m

v 2A

R1

小球P到A的過(guò)程中，由動(dòng)能定理有
-μmgcosα?S_PQ=

1

2

m

v

2A

-

1

2

m

v

20

由幾何關(guān)系可得S_PQ=

R1(1+cosα)

sinα

代入數(shù)據(jù)可得v₀=2

6

m/s
（2）小車(chē)以v=10m/s的初速度從P點(diǎn)下滑時(shí)，因?yàn)橛衯=10m/s＞v₀=2

6

m/s
所以小車(chē)可以通過(guò)圓弧軌道O₁，設(shè)小車(chē)恰好能通過(guò)B點(diǎn)，
由牛頓第二定律有 mg=m

v 2B

R2

則P到B由動(dòng)能定理得
-μmgcosα?S_PZ=

1

2

m

v

2B

-

1

2

m

v

2P

其中 S_PZ=

R2(1+cosα)

sinα

代入數(shù)據(jù)可得 v_P=

96

m/s
因?yàn)関_P=

96

m/s＜10m/s，所以小車(chē)能安全通過(guò)兩個(gè)圓形軌道．
答：
（1）若小車(chē)恰好能通過(guò)第一個(gè)圓形軌道的最高點(diǎn)A處，則其在P點(diǎn)的初速度應(yīng)為2

6

m/s；
（2）若小車(chē)在P點(diǎn)的初速度為10m/s，小車(chē)能安全通過(guò)兩個(gè)圓形軌道．