Question

如圖所示，一個(gè)光滑圓筒立于水平桌面上，圓筒的直徑為L(zhǎng)．一條長(zhǎng)度也為L(zhǎng)的細(xì)繩一端固定在圓筒中心線上的O點(diǎn)，另一端拴著一個(gè)質(zhì)量為m的小球（可視為質(zhì)點(diǎn)）．小球以速率v繞中心線OO′在水平面內(nèi)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，但球不會(huì)碰到筒底．試求：
（1）當(dāng)v₁=

1 6 gL

時(shí)，繩對(duì)小球的拉力T₁和圓筒壁對(duì)小球的支持力N₁
（2）當(dāng)v₂=

3 2 gL

時(shí)，繩對(duì)小球的拉力T₂和圓筒壁對(duì)小球的支持力N₂．

Answer 1

分析：（1）先根據(jù)牛頓第二定律求出球剛好挨著內(nèi)壁作勻速圓周運(yùn)動(dòng)的臨界速度v₀，再根據(jù)v₁與v₀的關(guān)系，確定向心力的來(lái)源，由牛頓第二定律求解．
（2）v₂＞v₀時(shí)，小球緊挨著內(nèi)壁作勻速圓周運(yùn)動(dòng)，受到重力、細(xì)繩的拉力和筒壁的彈力，其合力提供向心力，列式求解繩對(duì)小球的拉力T₂和圓筒壁對(duì)小球的支持力N₂．

解答：解：設(shè)球剛好挨著內(nèi)壁作勻速圓周運(yùn)動(dòng)的速度為v₀．此時(shí)由重力和細(xì)繩的拉力的合力提供向心力，則有：
mgtan30°=m

v 2 0

Lsin30°

解得：v₀=

3 6 gL

（1）當(dāng)v₁=

1 6 gL

時(shí)，時(shí)，因?yàn)関₁＜v₀，所以小球沒(méi)有貼著筒壁而做半徑較小的圓周運(yùn)動(dòng)，圓筒壁對(duì)小球的支持力N₁=0．
設(shè)此時(shí)繩與豎直方向夾角為α，
則：T₁sinα=m

v2

Lsinα

T₁cosα=mg，
解得：T₁≈1.09mg
（2）當(dāng)v₂=

3 2 gL

時(shí)，因?yàn)関₂＞v₀，所以小球緊挨著內(nèi)壁作勻速圓周運(yùn)動(dòng)，受到重力、細(xì)繩的拉力和筒壁的彈力，其合力提供向心力，則得：
  豎直方向有：T₂cosα=mg
  水平方向有：T₂sinα+N₂=m

v 2 2

Lsinα

解得：T₂=1.15 mg，N₂=1.15 mg．
答：（1）當(dāng)v₁=

1 6 gL

時(shí)，繩對(duì)小球的拉力T₁是1.09mg，圓筒壁對(duì)小球的支持力N₁為0．
（2）當(dāng)v₂=

3 2 gL

時(shí)，繩對(duì)小球的拉力T₂是1.15 mg，圓筒壁對(duì)小球的支持力N₂是1.85 mg．

點(diǎn)評(píng)：本題要注意判斷筒壁對(duì)球有無(wú)彈力，分析向心力來(lái)源，再運(yùn)用牛頓第二定律求解．