Question

如圖所示，在傾角為37°的斜面上，一勁度系數(shù)為k=100N/m的輕彈簧一端固定在A點(diǎn)，自然狀態(tài)時(shí)另一端位于B點(diǎn)．斜面上方有一半徑R=0.2m、圓心角等于143°的豎直圓弧形光滑軌道與斜面相切于C處，圓弧軌道的最高點(diǎn)為D．斜面AB段光滑，BC段粗糙且長(zhǎng)度為0.4m．現(xiàn)將一質(zhì)量為1kg的小物塊從C點(diǎn)由靜止釋放，小物塊將彈簧壓縮了0.2m后速度減為零（不計(jì)小物塊到達(dá)B處與彈簧碰撞時(shí)的能量損失）．已知彈簧彈性勢(shì)能表達(dá)式E_k=

1

2

kx²，其中k為彈簧的勁度系數(shù)，x為彈簧的形變量，重力加速度取g=10m/s²，sin37°=0.6，cos37°=0.8．（計(jì)算結(jié)果可保留根號(hào)）求：
（1）小物塊與斜面BC段間的動(dòng)摩擦因數(shù)μ；
（2）小物塊第一次返回BC面上時(shí)，沖到最遠(yuǎn)點(diǎn)E，求BE長(zhǎng)；
（3）若用小物塊將彈簧壓縮，然后釋放，要使小物塊在CD段圓弧軌道上運(yùn)動(dòng)且不脫離圓弧軌道，則壓縮時(shí)壓縮量應(yīng)滿足的條件．

Answer 1

分析：（1）對(duì)物體從B到C的過程分析，由動(dòng)能定理列式可求得物體與斜面間的動(dòng)摩擦因數(shù)；
（2）設(shè)小物塊最遠(yuǎn)將沖到E點(diǎn)，則由動(dòng)能定理得BE長(zhǎng)度；
（3）若用小物塊將彈簧壓縮，然后釋放，要使小物塊在CD段圓弧軌道上運(yùn)動(dòng)且不脫離圓弧軌道，分兩類情況，一種是不超過與O水平的點(diǎn)F點(diǎn)，一種為能到達(dá)最高點(diǎn)D，然后根據(jù)動(dòng)能定理和牛頓運(yùn)動(dòng)定律解答．

解答：解：（1）由動(dòng)能定理得：
mg（BC+x）sin37°-μmgcos37°BC-

1

2

kx2=0
代入數(shù)值解得：μ=0.5；
（2）設(shè)小物塊最遠(yuǎn)將沖到E點(diǎn)，則由動(dòng)能定理得：

1

2

kx2-mg(x+BE)sin37°-μmgcos37°BE=0
解得：BE=0.08m，即最遠(yuǎn)沖到距B點(diǎn)為0.08m的E位置．
（3）要使小物塊不脫離圓弧軌道，則小物塊應(yīng)到達(dá)圖中與o水平的F點(diǎn)時(shí)速度減為零則有：

1

2

kx2-mg(x+BC)sin37°-μmg37°BC＞0

1

2

kx2-mg(x+BC)sin37°-μmg37°BC-mgRcos37°≤0
解得：

6+ 836

100

＜x≤

6+ 1156

100

即：0.349m＜x≤0.4m
若恰過最高點(diǎn)D，則有：

1

2

kx2-mg(x+BC)sin37°-μmg37°BC-mg（R+Rcos37°）≥

1

2

mv²
又mg=m

v2

R

解得：x≥

6+ 1756

100

即：x≥0.479m；
答：（1）小物塊與斜面BC段間的動(dòng)摩擦因數(shù)μ=0.5；
（2）小物塊第一次返回BC面上時(shí)，沖到最遠(yuǎn)點(diǎn)E，求BE長(zhǎng)為0.08m；
（3）若用小物塊將彈簧壓縮，然后釋放，要使小物塊在CD段圓弧軌道上運(yùn)動(dòng)且不脫離圓弧軌道，則壓縮時(shí)壓縮量應(yīng)滿足的條件0.349m＜x≤0.4m
或x≥0.479m．

點(diǎn)評(píng)：本題考查動(dòng)能定理、牛頓第二定律及豎直面內(nèi)的圓周運(yùn)動(dòng)，解題的關(guān)鍵在于明確能達(dá)到E點(diǎn)的含義及小物塊在CD段圓弧軌道上運(yùn)動(dòng)且不脫離圓弧軌道的含義，并能正確列出動(dòng)能定理及理解題目中公式的含義．