Question

假設(shè)宇宙中存在一些離其它恒星較遠(yuǎn)的、由質(zhì)量相等的四顆星組成的四星系統(tǒng)，設(shè)其它星體對(duì)它們的引力作用可忽略．已知穩(wěn)定的四星系統(tǒng)存在兩種基本構(gòu)成形式，一種形式是三顆星位于等邊三角形的三個(gè)頂點(diǎn)上，第四顆位于其中心，頂點(diǎn)上的三顆星沿外接于等邊三角形的圓形軌道運(yùn)行；另一種形式是四顆星位于正方形的四個(gè)頂點(diǎn)上，圍繞正方形的中心做圓軌道運(yùn)行．設(shè)所有星體的質(zhì)量均相等，等邊三角形邊長和正方形邊長相等，試求出這兩種情況下四星系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)周期T₁和T₂之比．

Answer 1

對(duì)于第一種形式：
其軌道半徑為r₁=

3

3

a
由萬有引力定律和向心力公式得：

Gm2

r 21

+2

Gm2

a 2

cos30°=mr₁

4π2

T 21

解得：T₁=2πa 

a 3(1+ 3 )Gm

①
對(duì)于第二種形式：星體在其他三個(gè)星體的萬有引力作用下圍繞正方形對(duì)角線的交點(diǎn)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，其軌道半徑半徑r₂=

2

2

a
由萬有引力定律和向心力公式得：

Gm2

2a 2

+2

Gm2

a 2

cos45°=mr₂

4π2

T 22

解得：T₂=2πa

2a (4+ 2 )Gm

②
由①②解得：

T1

T2

=

(4+ 2 )( 3 -1) 12

答：這兩種情況下四星系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)周期之比

(4+ 2 )( 3 -1) 12

．