Question

如圖甲所示，兩平行金屬板A、B的板長L=0.2m，板間距d=0.2m，兩金屬板間加如圖乙所示的交變電壓，并在兩板間形成交變的勻強(qiáng)電場(chǎng)，忽略其邊緣效應(yīng)．在金屬板右側(cè)有一方向垂直于紙面向里的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，其左右寬度D=0.4m，上下范圍足夠大，邊界MN和PQ均與金屬板垂直，勻強(qiáng)磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度B=1×10^-2 T．現(xiàn)從t=0開始，從兩極板左側(cè)的中點(diǎn)O處以每秒鐘1000個(gè)的數(shù)量均勻連續(xù)地釋放出某種正電荷粒子，這些粒子均以v₀=2×10⁵ m/s的速度沿兩板間的中線OO′連續(xù)進(jìn)入電場(chǎng)，已知帶電粒子的比荷

q

m

=1×10⁸C/kg，粒子的重力和粒子間的相互作用都忽略不計(jì)，在粒子通過電場(chǎng)區(qū)域的極短時(shí)間內(nèi)極板間的電壓可以看作不變．求：
（1）t=0時(shí)刻進(jìn)入的粒子，經(jīng)邊界MN射入磁場(chǎng)和射出磁場(chǎng)時(shí)兩點(diǎn)間的距離；
（2）在0～1s內(nèi)有多少個(gè)帶電粒子能進(jìn)入磁場(chǎng)；
（3）何時(shí)由O點(diǎn)進(jìn)入的帶電粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間最長？

Answer 1

分析：（1）t=0時(shí)刻，電壓為0，故粒子在電場(chǎng)中不會(huì)發(fā)生偏轉(zhuǎn)，由洛侖茲力充當(dāng)向心力公式可得出粒子的偏轉(zhuǎn)半徑；由幾何關(guān)系可得出入射點(diǎn)與出射點(diǎn)間的距離；
（2）隨著電壓的增大，粒子的偏轉(zhuǎn)位移也增大；則能穿出電場(chǎng)的臨界條件是粒子恰好打在板的最右端；由類平拋運(yùn)動(dòng)的規(guī)律可求得臨界電壓；由圖可求得能進(jìn)入磁場(chǎng)的粒子個(gè)數(shù)；
（3）要使粒子運(yùn)動(dòng)時(shí)間最長，則粒子在磁場(chǎng)中轉(zhuǎn)過的圓心角應(yīng)最大；由幾何關(guān)系可知，當(dāng)粒子的軌跡與PQ相切時(shí)，其運(yùn)動(dòng)時(shí)間最長．

解答：解：（1）t=0時(shí)刻，電壓為0，粒子勻速通過兩板進(jìn)入磁場(chǎng)，
qv₀B=m

v 2 0

r

                     
r=

mv0

Bq

=0.2m                  
r＜D，則粒子在MN邊界射出磁場(chǎng)．
入射點(diǎn)和出射點(diǎn)的距離為s=2r=0.4m      
（2）粒子在兩板間做類平拋運(yùn)動(dòng)，剛好打到板最右端時(shí)，
L=v₀t₁    

d

2

=

1

2

at₁² 
 

qU0

d

=ma                      
U₀=400V                                      
則0～1s內(nèi)能夠進(jìn)入磁場(chǎng)的粒子個(gè)數(shù)為n=

400

500

×1000=800
（3）假設(shè)兩板加電壓為U時(shí)，粒子向下偏轉(zhuǎn)并進(jìn)入磁場(chǎng)，剛好與磁場(chǎng)PQ邊界相切，
在磁場(chǎng)中，qvB=m

v2

R

由幾何關(guān)系得，R+Rsinθ=D                             
在電場(chǎng)中，v=

v0

cosθ

聯(lián)立解得：θ=37⁰
v_y=

qU

md

t₁=v₀tanθ
U=300V                                              
U＜U₀=400V，則當(dāng)兩板電壓U=300V，且粒子向下偏轉(zhuǎn)時(shí)，粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間最長，對(duì)應(yīng)入射的時(shí)刻為
t=4n+0.6（s）或t=4n+1.4（s）  （n=0，1，2…）  
答：（1）入射點(diǎn)和出射點(diǎn)的距離為0.4m；
（2）0～1s內(nèi)能夠進(jìn)入磁場(chǎng)的粒子個(gè)數(shù)為800個(gè)；
（3）粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間最長，對(duì)應(yīng)入射的時(shí)刻為t=4n+0.6（s）或t=4n+1.4（s） （n=0，1，2…）

點(diǎn)評(píng)：本題應(yīng)注意題意中給出的條件，在粒子穿出電場(chǎng)的時(shí)間極短，電壓看作不變；同時(shí)要注意帶電粒子在磁場(chǎng)中的偏轉(zhuǎn)類題目一定要找清幾何關(guān)系．