Question

（21分）嫦娥1號(hào)奔月衛(wèi)星與長(zhǎng)征3號(hào)火箭分離后，進(jìn)入繞地運(yùn)行的橢圓軌道，近地點(diǎn)離地面高，遠(yuǎn)地點(diǎn)離地面高，周期約為16小時(shí)，稱為16小時(shí)軌道（如圖中曲線1所示）。隨后，為了使衛(wèi)星離地越來(lái)越遠(yuǎn)，星載發(fā)動(dòng)機(jī)先在遠(yuǎn)地點(diǎn)點(diǎn)火，使衛(wèi)星進(jìn)入新軌道（如圖中曲線2所示），以抬高近地點(diǎn)。后來(lái)又連續(xù)三次在抬高以后的近地點(diǎn)點(diǎn)火，使衛(wèi)星加速和變軌，抬高遠(yuǎn)地點(diǎn)，相繼進(jìn)入24小時(shí)軌道、48小時(shí)軌道和地月轉(zhuǎn)移軌道（分別如圖中曲線3、4、5所示）。已知衛(wèi)星質(zhì)量，地球半徑，地面重力加速度，月球半徑。

1．試計(jì)算16小時(shí)軌道的半長(zhǎng)軸a和半短軸b的長(zhǎng)度，以及橢圓偏心率。

2．在16小時(shí)軌道的遠(yuǎn)地點(diǎn)點(diǎn)火時(shí)，假設(shè)衛(wèi)星所受推力的方向與衛(wèi)星速度方向相同，而且點(diǎn)火時(shí)間很短，可以認(rèn)為橢圓軌道長(zhǎng)軸方向不變。設(shè)推力大小，要把近地點(diǎn)抬高到600，問(wèn)點(diǎn)火時(shí)間應(yīng)持續(xù)多長(zhǎng)？

3．試根據(jù)題給數(shù)據(jù)計(jì)算衛(wèi)星在16小時(shí)軌道的實(shí)際運(yùn)行周期。

4．衛(wèi)星最后進(jìn)入繞月圓形軌道，距月面高度約為200，周期分鐘，試據(jù)此估算月球質(zhì)量與地球質(zhì)量之比值。

Answer 1

解析：

1. 橢圓半長(zhǎng)軸a等于近地點(diǎn)和遠(yuǎn)地點(diǎn)之間距離的一半，亦即近地點(diǎn)與遠(yuǎn)地點(diǎn)矢徑長(zhǎng)度（皆指衛(wèi)星到地心的距離）與的算術(shù)平均值，即有

                (1)

 代入數(shù)據(jù)得

                           km                 (2)

 橢圓半短軸b等于近地點(diǎn)與遠(yuǎn)地點(diǎn)矢徑長(zhǎng)度的幾何平均值，即有

                                                    (3)

 代入數(shù)據(jù)得

                                                 (4)

 橢圓的偏心率

                                                   (5)

代入數(shù)據(jù)即得  

                                                     (6)

2. 當(dāng)衛(wèi)星在16小時(shí)軌道上運(yùn)行時(shí)，以和分別表示它在近地點(diǎn)和遠(yuǎn)地點(diǎn)的速度，根據(jù)能量守恒，衛(wèi)星在近地點(diǎn)和遠(yuǎn)地點(diǎn)能量相等，有

                                       (7)

式中是地球質(zhì)量，是萬(wàn)有引力常量. 因衛(wèi)星在近地點(diǎn)和遠(yuǎn)地點(diǎn)的速度都與衛(wèi)星到地心的連線垂直，根據(jù)角動(dòng)量守恒，有

                                                    (8)

 注意到

                                                       (9)

 由(7)、(8)、(9)式可得

                                                     (10)

                                          (11)

當(dāng)衛(wèi)星沿16小時(shí)軌道運(yùn)行時(shí)，根據(jù)題給的數(shù)據(jù)有

                                  

由(11)式并代入有關(guān)數(shù)據(jù)得

km/s                               (12)

依題意，在遠(yuǎn)地點(diǎn)星載發(fā)動(dòng)機(jī)點(diǎn)火，對(duì)衛(wèi)星作短時(shí)間加速，加速度的方向與衛(wèi)星速度方向相同，加速后長(zhǎng)軸方向沒(méi)有改變，故加速結(jié)束時(shí)，衛(wèi)星的速度與新軌道的長(zhǎng)軸垂直，衛(wèi)星所在處將是新軌道的遠(yuǎn)地點(diǎn).所以新軌道遠(yuǎn)地點(diǎn)高度km，但新軌道近地點(diǎn)高度km.由(11)式，可求得衛(wèi)星在新軌道遠(yuǎn)地點(diǎn)處的速度為

                              km/s                  (13)

衛(wèi)星動(dòng)量的增加量等于衛(wèi)星所受推力F的沖量，設(shè)發(fā)動(dòng)機(jī)點(diǎn)火時(shí)間為t，有

                                                      (14)

由(12)、(13)、(14)式并代入有關(guān)數(shù)據(jù)得

                  t= (約2.5分)                          (15)

這比運(yùn)行周期小得多.

3. 當(dāng)衛(wèi)星沿橢圓軌道運(yùn)行時(shí)，以r表示它所在處矢徑的大小，v表示其速度的大小，表示矢徑與速度的夾角，則衛(wèi)星的角動(dòng)量的大小

                                       (16 ) 

其中

                               （17）

是衛(wèi)星矢徑在單位時(shí)間內(nèi)掃過(guò)的面積，即衛(wèi)星的面積速度.由于角動(dòng)量是守恒的，故是恒量.利用遠(yuǎn)地點(diǎn)處的角動(dòng)量，得

                                   (18)

又因?yàn)樾l(wèi)星運(yùn)行一周掃過(guò)的橢圓的面積為

                                              (19)

所以衛(wèi)星沿軌道運(yùn)動(dòng)的周期

                                              (20)

由(18)、(19)、(20) 式得

                                        (21)

代入有關(guān)數(shù)據(jù)得

                        s (約15小時(shí)46分)         (22)

注：本小題有多種解法.例如，由開(kāi)普勒第三定律，繞地球運(yùn)行的兩衛(wèi)星的周期T與T₀之比的平方等于它們的軌道半長(zhǎng)軸a與a₀之比的立方，即

                                    

若是衛(wèi)星繞地球沿圓軌道運(yùn)動(dòng)的軌道半徑，則有

                  

得                                                                                                                     

從而得

                          

代入有關(guān)數(shù)據(jù)便可求得(22)式.                               

4. 在繞月圓形軌道上，根據(jù)萬(wàn)有引力定律和牛頓定律有

                                                (23)

這里是衛(wèi)星繞月軌道半徑，是月球質(zhì)量. 由(23)式和(9)式，可得

                                       (24)

代入有關(guān)數(shù)據(jù)得

                                    (25)