Question

一端彎曲的光滑絕緣軌道ABD固定在豎直平面上，如圖所示，AB段水平、BD段是半徑為R的半圓弧，有電荷量為Q的正點(diǎn)電荷固定在圓心O處．一質(zhì)量為m、電荷量為q的帶正電小環(huán)，在水平恒力F₀作用下從C點(diǎn)由靜止開始運(yùn)動(dòng)，到B點(diǎn)時(shí)撤去外力，小環(huán)繼續(xù)運(yùn)動(dòng)，發(fā)現(xiàn)剛好能到達(dá)絕緣軌道上與圓心等高的M點(diǎn)，已知CB間距為

4

3

R．求：
（1）小環(huán)從C運(yùn)動(dòng)到M過程中，點(diǎn)電荷Q的電場對(duì)它做的功；
（2）若水平恒力大小改為2F₀，則小環(huán)在能達(dá)到的最高點(diǎn)時(shí)的速度大�。�
（3）水平恒力為多大時(shí)，小環(huán)沖上圓弧軌道后能沿原路徑返回到A點(diǎn)．

Answer 1

分析：（1）小環(huán)從C運(yùn)動(dòng)到M過程中，有電場力、外力和重力做功，根據(jù)動(dòng)能定理可以求得電場做的功；
（2）要是小環(huán)能夠到達(dá)D點(diǎn)，則到達(dá)D點(diǎn)時(shí)的速度必須大于或等于零，在此過程中外力、電場力和重力做功，根據(jù)動(dòng)能定理可以求得小環(huán)在能達(dá)到的最高點(diǎn)時(shí)的速度大小；解題時(shí)要注意D、B電勢(shì)相等，小環(huán)從B到D過程，電場力不做功．
（3）根據(jù)動(dòng)能定理求出小環(huán)能進(jìn)入圓環(huán)和能到達(dá)D點(diǎn)時(shí)的水平恒力，即可得到小環(huán)沖上圓弧軌道后能沿原路徑返回到A點(diǎn)水平恒力的范圍．

解答：解：（1）小球從C運(yùn)動(dòng)到M，設(shè)電場力做功為W_電．對(duì)小環(huán)從C運(yùn)動(dòng)到M過程中，由動(dòng)能定理得：
F₀?

4

3

R-mgR+W_電=0
解得：W_電=mgR-F₀?

4

3

R=mgR-

4

3

F0R
（2）若水平恒力大小改為2F₀，設(shè)小環(huán)能達(dá)到的最大高度為h，根據(jù)動(dòng)能定理得：
2F₀?

4

3

R-mgh+W_電=0
得：mgh=F₀?

4

3

R+mgR，
因?yàn)椋篧_電＜0，
所以：

4

3

F0R＞mgh
則得：h＞2R，即小環(huán)能到達(dá)D點(diǎn)，設(shè)此時(shí)的速度大小為v，根據(jù)動(dòng)能定理得：
 2F₀?

4

3

R-2mgR+W_電=

1

2

mv2
解得，v=

8F0R 3m -2gR

（3）設(shè)小環(huán)恰能進(jìn)入圓環(huán)和恰能到達(dá)D點(diǎn)時(shí)的水平恒力分別為F₁和F₂．根據(jù)動(dòng)能定理得：
恒力為F₁時(shí)，有：F₁?

4

3

R+W_電=0，
解得：F₁=F₀-

3

4

mg；
恒力為F₂時(shí)，有：F₂?

4

3

R-2mgR+W_電=0，
解得：F₂=F₀+

3

4

mg；
所以水平恒力為F₀-

3

4

mg＜F＜F₀+

3

4

mg時(shí)，小環(huán)沖上圓弧軌道后能沿原路徑返回到A點(diǎn)．
答：（1）小環(huán)從C運(yùn)動(dòng)到M過程中，點(diǎn)電荷Q的電場對(duì)它做的功為mgR-

4

3

F0R；
（2）若水平恒力大小改為2F₀，則小環(huán)在能達(dá)到的最高點(diǎn)時(shí)的速度大小為

8F0R 3m -2gR

；
（3）水平恒力為F₀-

3

4

mg＜F＜F₀+

3

4

mg時(shí)，小環(huán)沖上圓弧軌道后能沿原路徑返回到A點(diǎn)．

點(diǎn)評(píng)：本題要注意對(duì)小環(huán)的運(yùn)動(dòng)的過程進(jìn)行分析，根據(jù)動(dòng)能定理求解小環(huán)的速度的大�。�在應(yīng)用動(dòng)能定理的時(shí)候一定要分析清楚運(yùn)動(dòng)過程中各力的做功的情況，在特別要抓住電場力做功的特點(diǎn)，關(guān)鍵要分析臨界情況，求解恒力的范圍．