Question

一端彎曲的光滑絕緣桿ABD固定在豎直平面上，如圖所示，AB段水平，BD段是半徑為R的半圓弧，有電荷量為Q（Q＞0）的點(diǎn)電荷固定在圓心O點(diǎn)．一質(zhì)量為m、電荷量為q（q＞0）的帶電小環(huán)套在光滑絕緣桿上，在水平外力作用下從C點(diǎn)由靜此開(kāi)始運(yùn)動(dòng)，到B點(diǎn)時(shí)撤去外力，小環(huán)繼續(xù)運(yùn)動(dòng)，發(fā)現(xiàn)剛好能到絕緣桿的最高點(diǎn)D．已知CB間距為4R/3．（提示：根據(jù)電磁學(xué)有關(guān)知識(shí)，在某一空間放一電荷量為Q的點(diǎn)電荷，則距離點(diǎn)電荷為r的某點(diǎn)的電勢(shì)為，其中k為靜電力常量，設(shè)無(wú)窮遠(yuǎn)處電勢(shì)為零．）
（1）求小環(huán)從C運(yùn)動(dòng)到B過(guò)程中，水平外力做的功；
（2）若水平外力為恒力，要使小環(huán)能運(yùn)動(dòng)到D點(diǎn)，求水平外力的最小值F；
（3）若水平外力為恒力，大小為F（F大于（2）問(wèn)中的F），求小環(huán)運(yùn)動(dòng)到D點(diǎn)時(shí)，絕緣桿對(duì)環(huán)的彈力大小和方向．

Answer 1

【答案】分析：（1）小環(huán)從C運(yùn)動(dòng)到B過(guò)程中，有電場(chǎng)力和外力做功，根據(jù)動(dòng)能定理可以求得水平外力做的功；
（2）要是小環(huán)能夠到達(dá)D點(diǎn)，則到達(dá)D點(diǎn)時(shí)的速度必須大于或等于零，在此過(guò)程中外力和電場(chǎng)力做功，根據(jù)動(dòng)能定理可以求得最小的外力；
（3）到達(dá)D點(diǎn)時(shí)，做的是圓周運(yùn)動(dòng)，彈力、重力、電場(chǎng)力的合力做為圓周運(yùn)動(dòng)的向心力，由此可以求得絕緣桿對(duì)環(huán)的彈力大小和方向．
解答：解：（1）小球從C運(yùn)動(dòng)到B，帶電小環(huán)要克服電場(chǎng)力做功，克服電場(chǎng)做的功W_電等于電勢(shì)能的增加，
則 W_電=q-，
所以W_電=，
小球從C運(yùn)動(dòng)到B，設(shè)到B得速度為V_B，水平外力做的功為W，
則 W-W_電=m
小球從B到D過(guò)程中，帶電小環(huán)在等勢(shì)面上運(yùn)動(dòng)電場(chǎng)力不做功，設(shè)到D點(diǎn)的速度為V_D
則-2mgR=m-m
又剛好到D點(diǎn)，則D點(diǎn)速度為V_D=0，
所以W=2mgR+，
（2）小球要能運(yùn)動(dòng)到D點(diǎn)，則V_D≥0
由C運(yùn)動(dòng)到D點(diǎn)，F(xiàn)′?R-W_電-2mgR=m
由此可以解得F′≥mg+
所以水平外力的最小值為F=mg+．
（3）由C運(yùn)動(dòng)到D點(diǎn)，設(shè)D點(diǎn)速度為V_D，
F?R-2mgR-=m
小環(huán)運(yùn)動(dòng)到D點(diǎn)時(shí)，設(shè)絕緣桿對(duì)小環(huán)的彈力大小為F_N，方向指向圓心，
=F_N+mg-
由此可得F_N=F+-5mg
討論：
（a）若F+＞5mg，則彈力大小為F+-5mg，方向指向圓心．
（b）若F+=5mg，則彈力為零．
（c）若F+＜5mg，則彈力大小為5mg-（F+），方向背向圓心．
點(diǎn)評(píng)：對(duì)小環(huán)的運(yùn)動(dòng)的過(guò)程進(jìn)行分析，根據(jù)動(dòng)能定理求解小環(huán)的速度的大小，在應(yīng)用動(dòng)能定理的時(shí)候一定要分析清楚，運(yùn)動(dòng)過(guò)程中力的做功的情況，在求解絕緣桿對(duì)環(huán)的彈力的時(shí)候要注意分析對(duì)環(huán)的作用力的方向是向上的還是向下的．