Question

如圖所示，有A、B兩顆衛(wèi)星繞同顆質(zhì)量未知，半徑為R的行星做勻速圓周運動，旋轉(zhuǎn)方向相同，其中A為近地軌道衛(wèi)星，周期為T₁，B為靜止軌道衛(wèi)星，周期為T₂，在某一時刻兩衛(wèi)星相距最近，試用已知量求解下列問題：（引力常量G為已知）
（1）經(jīng)過多長時間，兩行星再次相距最近？
（2）同步衛(wèi)星離地面的高度h=？
（3）該行星的平均密度ρ=？

Answer 1

（1）衛(wèi)星繞行星做勻速圓周運動，萬有引力提供向心力有：

GMm

r2

=m

4π2r

T2

周期T=2π

r3 GM

，
某時刻兩衛(wèi)星相距最近，則可知經(jīng)過時間t兩衛(wèi)星再次相距最近時，A衛(wèi)星比B衛(wèi)星多轉(zhuǎn)過2π弧度，
即有：（

2π

T1

-

2π

T2

）t=2π
得t=

T1T2

2(T2-T1)

，
（2）衛(wèi)星做勻速圓周運動萬有引力提供向心力有：

GMm

r2

=m

4π2r

T2

A為近地軌道衛(wèi)星，周期為T₁，
所以行星質(zhì)量M=

4π2R3

GT 21

同步衛(wèi)星周期為T₂，
r=

3	GMT2 4π2

=

3	T 22 R3 T 21

=R+h
所以同步衛(wèi)星離地面的高度h=

3	T 22 R3 T 21

-R．
（3）根據(jù)密度的定義得：
行星的平均密度ρ=

M

V

=

3π

GT 21

．
答：（1）經(jīng)過

T1T2

2(T2-T1)

，兩行星再次相距最近．
（2）同步衛(wèi)星離地面的高度h=

3	T 22 R3 T 21

-R．
（3）該行星的平均密度ρ=

3π

GT 21

．