Question

如圖所示為某一儀器的部分原理示意圖，虛線OA、OB關(guān)于y軸對(duì)稱，∠AOB=90°，OA、OB將xOy平面分為Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ三個(gè)區(qū)域，區(qū)域Ⅰ、Ⅲ內(nèi)存在水平方向的勻強(qiáng)電場，電場強(qiáng)度大小相等、方向相反．帶電粒子自x軸上的粒子源P處以速度v0沿y軸正方向射出，經(jīng)時(shí)間t到達(dá)OA上的M點(diǎn)，且此時(shí)速度與OA垂直．已知M到原點(diǎn)O的距離OM=a，不計(jì)粒子的重力．求：
（1）勻強(qiáng)電場的電場強(qiáng)度E的大小；
（2）為使粒子能從M點(diǎn)經(jīng)Ⅱ區(qū)域通過OB上的N點(diǎn)，M、N點(diǎn)關(guān)于y軸對(duì)稱，可在區(qū)域Ⅱ內(nèi)加一垂直xOy平面的勻強(qiáng)磁場，求該磁場的磁感應(yīng)強(qiáng)度的最小值和粒子經(jīng)過區(qū)域Ⅲ到達(dá)x軸上Q點(diǎn)的橫坐標(biāo)；
（3）當(dāng)勻強(qiáng)磁場的磁感應(yīng)強(qiáng)度取（2）問中的最小值時(shí)，且該磁場僅分布在一個(gè)圓形區(qū)域內(nèi)．由于某種原因的影響，粒子經(jīng)過M點(diǎn)時(shí)的速度并不嚴(yán)格與OA垂直，成散射狀，散射角為θ，但速度大小均相同，如圖所示，求所有粒子經(jīng)過OB時(shí)的區(qū)域長度．

Answer 1

分析：（1）粒子在Ⅰ區(qū)域做類平拋運(yùn)動(dòng)，有運(yùn)動(dòng)位移可得時(shí)間
（2）使粒子通過N點(diǎn)且磁感應(yīng)強(qiáng)度最小，則粒子在Ⅱ內(nèi)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)半徑R=OM，粒子經(jīng)N點(diǎn)后進(jìn)入Ⅲ區(qū)域，做勻變速曲線運(yùn)運(yùn)動(dòng)，有運(yùn)動(dòng)分解知識(shí)求得到達(dá)x軸上Q點(diǎn)的橫坐標(biāo)
（3）該圓形磁場區(qū)域的半徑r等于其軌跡圓半徑R，分別作出兩邊緣狀態(tài)的軌跡圖，由幾何關(guān)系求解

解答：解：（1）粒子在Ⅰ區(qū)內(nèi)做類平拋運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t
則：vx=

qEt

m

①
v_x=v_y=v₀②
由 ①②兩式得：t=

mv0

qE

③
（2）粒子在Ⅰ區(qū)內(nèi)y方向的位移：y=v₀t
OM=

2

y④
使粒子通過N點(diǎn)且磁感應(yīng)強(qiáng)度最小，則粒子在Ⅱ內(nèi)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)半徑R=OM⑤
由③④⑤式，可得：R=

2 m v 2 0

qE

又由洛侖茲力和牛頓第二定律可得，BqvM=

m v 2 M

R

⑥
vM=

2

V0⑦
由上式可得：B=

E

v0

⑧
粒子進(jìn)入Ⅲ區(qū)后，運(yùn)動(dòng)的軌跡PM與QN對(duì)稱，故：OQ=OP⑨
又OP=v0t+

1

2

v0t=10 ⑩
得：OQ=

3m v 2 0

2qE

故：Q點(diǎn)的坐標(biāo)為（

3m v 2 0

2qE

，0）
（3）該圓形磁場區(qū)域的半徑r等于其軌跡圓半徑R，即：
r=R=

2

v0t
所有粒子出磁場時(shí)速度方向平行，其落點(diǎn)在直線OB上的GH兩點(diǎn)之間，如圖：
GH=2rsinθ=

2 2 m v 2 0 sinθ

qE

答：（1）勻強(qiáng)電場的電場強(qiáng)度E的大小t=

mv0

qE

；
（2）Q點(diǎn)的坐標(biāo)為（

3m v 2 0

2qE

，0）；
（3）所有粒子經(jīng)過OB時(shí)的區(qū)域長度

2 2 m v 2 0 sinθ

qE

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查帶電粒子在電場和磁場中的運(yùn)動(dòng)，關(guān)鍵理清粒子的運(yùn)動(dòng)軌跡，以及運(yùn)動(dòng)的情況，結(jié)合幾何關(guān)系進(jìn)行求解．