Question

（2007?湖南模擬）如圖所示，在空間中固定放置一絕緣材料制成的邊長為L的剛性等邊三邊形框架△DEF，DE邊上S點（

.

DS

=

L

4

）處有一發(fā)射帶正電的粒子源，發(fā)射粒子的方向皆在圖中截面內(nèi)且垂直于DE邊向下．發(fā)射的電量皆為q，質(zhì)量皆為m，但速度v有各種不同的值．整個空間充滿磁感應強度大小為B，方向垂直截面向里的均勻磁場．設粒子與△DEF邊框碰撞時沒有能量損失和電量傳遞．求：
（1）帶電粒子速度的大小為v時，做勻速圓周運動的半徑
（2）帶電粒子速度v的大小取那些數(shù)值時，可使S點發(fā)出的粒子最終又垂直于DE邊回到S點？
（3）這些粒子中，回到S點所用的最短時間是多少．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)洛倫茲力提供向心力，根據(jù)牛頓第二定律求出粒子在磁場中運動的軌道半徑．
（2）根據(jù)帶電粒子在磁場中運動的軌道半徑，結(jié)合等邊三角形邊長，畫出粒子運動的軌跡圖，當帶電粒子的運動軌跡同場區(qū)內(nèi)切時，場區(qū)半徑有最小值，根據(jù)幾何關(guān)系求出勻強磁場區(qū)域的橫截面圓周半徑的最小值．
（3）求出帶電粒子在勻強磁場中運動的周期，根據(jù)幾何關(guān)系知，從S點發(fā)射出的某帶電粒子從S點發(fā)射到第一次返回S點經(jīng)歷了4個周期，從而得出運動的時間．

解答：解：（1）帶電粒子從S點垂直于DE以速度v射出后，做勻速圓周運動，其圓心一定位于DE邊上，其半徑R可由下式
qvB=

mv2

R

求得半徑為R=

mv

qB

      …（1）
（2）若此粒子每次與△DEF的三條邊碰撞時都與邊垂直，且能回到S點，則R和v應滿足以下條件：

.

DS

=

L

4

=(2n-1)R  n=1，2，3，…（2）
由①②得    v=

qBL

4(2n-1)m

         n=1，2，3，…（3）
（3）這些粒子在磁場中做圓周運動的周期為
T=

2πR

v

  將（1）式代入，得T=

2πm

qB

    …（4）
可見在B及

q

m

給定時T與v無關(guān)．粒子從S點出發(fā)最后回到S點的過程中，與三角形的邊碰撞次數(shù)愈少，所經(jīng)歷的時間就愈少，所以應取n=1，由圖可看出該粒子的軌跡包括3個半圓和3個圓心角為300°的圓弧，所需時間為
t=3?

T

2

+3?

5T

6

=4T=

8πm

qB

…（5）
答：（1）帶電粒子速度的大小為v時，做勻速圓周運動的半徑為

mv

qB

；
（2）帶電粒子速度v=

qBL

4(2n-1)m

，n=1，2，3，…時，可使S點發(fā)出的粒子最終又垂直于DE邊回到S點；
（3）這些粒子中，回到S點所用的最短時間是

8πm

qB

．

點評：本題粒子在有圓形邊界的磁場做勻速圓周運動的問題，畫出軌跡，根據(jù)幾何知識分析臨界條件，求半徑和圓心角是常用的思路．