Question

兩平行板間有水平勻強(qiáng)電場(chǎng)，一根長(zhǎng)為L(zhǎng)，不可伸長(zhǎng)的不導(dǎo)電細(xì)繩的一端連著一個(gè)質(zhì)量為 m、帶電量為q的小球，另一端固定于O點(diǎn)．把小球拉起直至細(xì)線與電場(chǎng)線平行，然后無初速度釋放．已知小球擺到最低點(diǎn)的另一側(cè)，線與豎直方向的最大夾角為θ=30°求：
（1）勻強(qiáng)電場(chǎng)的場(chǎng)強(qiáng)
（2）小球到最低點(diǎn)的速度
（3）經(jīng)過最低點(diǎn)時(shí)，細(xì)線對(duì)小球的拉力
（4）小球運(yùn)動(dòng)過程中線的最大張力．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)動(dòng)能定理研究小球從釋放到最低點(diǎn)到最低點(diǎn)的另一側(cè)的過程列出等式求出勻強(qiáng)電場(chǎng)的場(chǎng)強(qiáng)
（2）根據(jù)動(dòng)能定理研究小球從釋放到最低點(diǎn)的過程求出小球到最低點(diǎn)的速度
（3）經(jīng)過最低點(diǎn)時(shí)，由重力和細(xì)線的拉力的合力提供小球的向心力，由牛頓第二定律求出細(xì)線對(duì)小球的拉力．
（4）將電場(chǎng)力與重力合成，由圖可知，合力方向與豎直方向成30度角斜向右下，找出對(duì)應(yīng)的“等效最低點(diǎn)”去解決問題．

解答：解：（1）根據(jù)動(dòng)能定理研究小球從釋放到最低點(diǎn)到最低點(diǎn)的另一側(cè)的過程列出等式
小球無初速度釋放擺到最低點(diǎn)的另一側(cè)的過程：
mgLcosθ-qEL（1+sinθ）=0-0=0     θ=30°
解得：E=

mgcosθ

q(1+sinθ)

=

3 mg

3q

  ①
（2）根據(jù)動(dòng)能定理研究小球從釋放到最低點(diǎn)的過程得：
mgL-qEL=

1

2

mv²   ②
由①②得：v=

2gL(3- 3 ) 3

③
（3）小球最低點(diǎn)時(shí)由重力和細(xì)線的拉力的合力提供小球的向心力，
根據(jù)牛頓第二定律得
     F-mg=m

v2

L

  ④
由③④得：F=

mg(3+3sinθ-2cosθ)

1+sinθ

=3mg-

2 3 mg

3

（4）將電場(chǎng)力與重力合成F_合=

2 3 mg

3

，由圖可知，合力方向與豎直方向成30度角斜向右下，O′為對(duì)應(yīng)的“等效最低點(diǎn)”．
在O'點(diǎn)產(chǎn)生最大加速度，對(duì)應(yīng)最大拉力．  由幾何關(guān)系得 α=60°．
根據(jù)動(dòng)能定理研究O點(diǎn)到O'點(diǎn)，得：
mg?

3

2

L-Eq?

L

2

=

1

2

m

v

2 O′

-0  ④
由①④得：

v

2 O′

=

2 3 gL

3

小球在O'點(diǎn)時(shí)由重力、電場(chǎng)力和細(xì)線的拉力的合力提供小球的向心力，
根據(jù)牛頓第二定律得
     F_max-F_合=m

v 2 O′

L

F_max=

4 3 mg

3

答：（1）勻強(qiáng)電場(chǎng)的場(chǎng)強(qiáng)是

3 mg

3q

（2）小球到最低點(diǎn)的速度是

2gL(3- 3 ) 3

（3）經(jīng)過最低點(diǎn)時(shí)，細(xì)線對(duì)小球的拉力是3mg-

2 3 mg

3

（4）小球運(yùn)動(dòng)過程中線的最大張力是

4 3 mg

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題是帶電物體在電場(chǎng)中圓周運(yùn)動(dòng)問題，動(dòng)能定理和向心力結(jié)合是常用的解題方法．常見的題型．對(duì)于多過程的問題可能多次應(yīng)用動(dòng)能定理求解問題．
第四問是就是等效重力場(chǎng)的問題，找出對(duì)應(yīng)的“等效最低點(diǎn)”去解決問題．